{"id":18731,"date":"2024-12-10T08:25:02","date_gmt":"2024-12-10T13:25:02","guid":{"rendered":"https:\/\/notes.math.ca\/article\/tout-simplement-pas-evident\/"},"modified":"2024-12-12T09:03:44","modified_gmt":"2024-12-12T14:03:44","slug":"tout-simplement-pas-evident","status":"publish","type":"article","link":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/article\/tout-simplement-pas-evident\/","title":{"rendered":"Tout simplement pas \u00e9vident"},"content":{"rendered":"

Vous connaissez sans doute l’histoire de Sylvanus Thompson selon laquelle Lord Kelvin aurait dit \u00e0 sa classe de physique que Liouville \u00e9tait un math\u00e9maticien<\/em><\/strong>, \u00e0 savoir un math\u00e9maticien pour qui int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} dx = sqrt{pi}<\/span> \u00e9tait aussi \u00e9vident que 2+2 l’\u00e9tait pour eux. Si vous connaissez \u00e9galement l’astuce diabolique avec les coordonn\u00e9es polaires par laquelle cette int\u00e9grale est habituellement \u00e9valu\u00e9e, vous verrez que Kelvin utilisait clairement \u00ab \u00e9vident \u00bb dans un sens a posteriori : c’est un fait qui devient<\/em><\/strong> \u00e9vident apr\u00e8s un expos\u00e9 et un peu de r\u00e9flexion. J’imagine que m\u00eame le grand Liouville n’aurait pas \u00ab vu \u00bb ce probl\u00e8me ! Mais c’est peut-\u00eatre l’usage que Kelvin fait de ce mot qui est le plus int\u00e9ressant, car il s’applique davantage \u00e0 l’interaction d’un math\u00e9maticien avec le th\u00e9or\u00e8me en question.<\/p>\n

Il y a quelques semaines, j’ai assist\u00e9 \u00e0 un colloque tr\u00e8s int\u00e9ressant. L’orateur, un membre de notre d\u00e9partement, avait besoin du th\u00e9or\u00e8me de la r\u00e9ciprocit\u00e9 quadratique pour quelque chose, et a fait remarquer que bien qu’il soit certainement vrai, et qu’il ait \u00e9t\u00e9 prouv\u00e9 d’une multitude de fa\u00e7ons, aucune d’entre elles ne rendait le th\u00e9or\u00e8me \u00e9vident. J’\u00e9tais heureux d’entendre cela – toutes ces ann\u00e9es, depuis que j’ai rencontr\u00e9 le TRQ pour la premi\u00e8re fois \u00e0 Cambridge, j’ai pens\u00e9 que c’\u00e9tait juste moi ! Mais cela m’a fait r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 ce qui est \u00e9vident et \u00e0 ce qui ne l’est pas.<\/p>\n

Parfois, il suffit d’attendre le bon argument. Le th\u00e9or\u00e8me de Sylvester-Gallai, qui concerne les configurations de lignes et de points dans le plan euclidien, est rest\u00e9 le \u00ab probl\u00e8me de Sylvester \u00bb pendant pr\u00e8s de cinquante ans apr\u00e8s qu’il a \u00e9t\u00e9 pos\u00e9 en 1893. Au milieu du vingti\u00e8me si\u00e8cle, des preuves ont commenc\u00e9 \u00e0 appara\u00eetre, culminant avec la preuve de la distance minimale de Kelly, qui rend le th\u00e9or\u00e8me vraiment \u00e9vident.<\/p>\n

Certaines choses en math\u00e9matiques semblent plus \u00e9videntes, au premier abord, qu’elles ne le sont r\u00e9ellement. Le th\u00e9or\u00e8me des quatre couleurs semble \u00e9vident pour beaucoup apr\u00e8s une demi-heure de gribouillage, mais il n’existe toujours pas de preuve compr\u00e9hensible par les humains. Il existe des th\u00e9or\u00e8mes difficiles sur les ensembles infinis dont les \u00e9quivalents finis sont triviaux. Et quoi de plus \u00e9vident que le th\u00e9or\u00e8me de la courbe de Jordan, qui affirme que toute courbe ferm\u00e9e simple poss\u00e8de un int\u00e9rieur et un ext\u00e9rieur ? Mais il est tr\u00e8s, tr\u00e8s difficile \u00e0 prouver, au point que pratiquement tous les manuels de premier cycle qui en ont besoin s’abstiennent d’en donner la preuve. Pourquoi cette divergence ? Je pense que c’est parce que lorsque vous ajoutez quelques \u00ab belles \u00bb propri\u00e9t\u00e9s suppl\u00e9mentaires, la preuve devient tr\u00e8s simple… et votre imagination (ou du moins mon imagination) a tendance \u00e0 ajouter ces belles propri\u00e9t\u00e9s gratuitement lorsque vous vous mettez en t\u00eate d’\u00ab imaginer une courbe ferm\u00e9e simple \u00bb. Inversement, si l’on monte de quelques dimensions, les n-sph\u00e8res d\u00e9veloppent des propri\u00e9t\u00e9s bizarres que nos intuitions tridimensionnelles ont du mal \u00e0 imaginer.<\/p>\n

Il y a ensuite les diff\u00e9rentes formes de l’axiome du choix. Quoi de plus \u00e9vident que le produit d’une collection d’ensembles non vides est non vide ? Mais cela est logiquement \u00e9quivalent au th\u00e9or\u00e8me tr\u00e8s peu \u00e9vident de Tychonoff, et implique le bizarre paradoxe de la dissection de Banach-Tarski, qui n’est s\u00fbrement \u00e9vident pour personne.<\/p>\n

Il est clair que nous entendons et comprenons quelque chose par \u00ab \u00e9vident \u00bb en math\u00e9matiques… mais il n’est pas toujours \u00e9vident de savoir quoi !<\/p>\n","protected":false},"author":11,"template":"","section":[23],"keyword":[],"class_list":["post-18731","article","type-article","status-publish","hentry","section-editorial-2"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Dawson"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Robert"},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":"rjmdawson@gmail.com"},"author-institution":{"type":"textfield","raw":"Saint Mary's University"},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":"Editor, CMS Notes"}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"https:\/\/notes.math.ca\/wp-content\/uploads\/2024\/12\/4-Tout-simplement-pas-evident-\u2013-Notes-de-la-SMC.pdf","attachment_id":18770},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"2"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Dawson"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Robert"}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/18731","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/18731\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":18732,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/18731\/revisions\/18732"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=18731"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=18731"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=18731"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}