Une fois de plus ce mois-ci, je me suis surpris \u00e0 r\u00e9fl\u00e9chir aux quaternions et \u00e0 des questions connexes, en partie pour le plaisir, mais aussi peut-\u00eatre pour me changer les id\u00e9es. Vous en savez probablement quelque chose vous aussi. Cet \u00e9ditorial n’a pas pour but d’\u00eatre une le\u00e7on, mais simplement une r\u00e9flexion sur l’\u00e9l\u00e9gance de certaines branches des math\u00e9matiques.<\/p>\n
Vous savez que les nombres complexes sont g\u00e9n\u00e9r\u00e9s \u00e0 partir des nombres r\u00e9els en ajoutant une racine carr\u00e9e pour -1<\/span>, ou, de mani\u00e8re \u00e9quivalente, en modifiant l’id\u00e9al langle x^2+1 rangle<\/span> \u00e0 partir de l’anneau des polyn\u00f4mes. \u00c9tonnamment, en supposant une solution pour un polyn\u00f4me auparavant insoluble, nous les avons tous r\u00e9solus et avons jet\u00e9 les bases d’une grande partie des math\u00e9matiques appliqu\u00e9es importantes du XXe si\u00e8cle. Les nombres complexes se comportent de mani\u00e8re tr\u00e8s similaire aux nombres r\u00e9els, sauf qu’ils ne peuvent pas \u00eatre ordonn\u00e9s.<\/p>\n Si nous modifions plut\u00f4t <x^2><\/span> nous obtenons les nombres duals<\/em>, avec des \u00e9l\u00e9ments \u00ab infinit\u00e9simaux \u00bb : ceux-ci peuvent \u00eatre consid\u00e9r\u00e9s comme une base alternative pour au moins certains calculs, et sont utiles en g\u00e9om\u00e9trie. Si nous modifions <x^2-1><\/span> nous obtenons les nombres doubles<\/em>, qui ont des applications en relativit\u00e9 restreinte. Aucun de ces anneaux n’est aussi utile que mathbb{C}<\/span>, mais la barre est haute !<\/p>\n C’est une astuce tellement efficace que les gens ont voulu la r\u00e9utiliser. Hamilton, apr\u00e8s avoir tent\u00e9 en vain de concevoir une alg\u00e8bre de division tridimensionnelle, s’est essay\u00e9 \u00e0 quatre dimensions et a d\u00e9velopp\u00e9 les quaternions. Il est surprenant aujourd’hui de r\u00e9aliser que les quaternions \u00e9taient utilis\u00e9s avant les vecteurs : les vecteurs les ont en fait supplant\u00e9s pendant une grande partie du XXe si\u00e8cle, mais les quaternions ont r\u00e9cemment fait leur retour comme moyen extr\u00eamement rapide de g\u00e9rer les rotations d’objets tridimensionnels dans les processeurs graphiques.<\/p>\n Il existe deux fa\u00e7ons \u00e9videntes d’envisager les quaternions. Nous pouvons partir des nombres r\u00e9els et cr\u00e9er une alg\u00e8bre associative avec deux racines carr\u00e9es de -1<\/span>, ij = - ji<\/span>. Nous obtenons alors une sym\u00e9trie entre i<\/span>, j<\/span>, et k := ij<\/span>. C’est l’approche de l’alg\u00e8bre de Clifford. Nous pouvons \u00e9galement utiliser la construction de Cayley-Dickson et ajouter un autre \u00e9l\u00e9ment imaginaire \u00e0 mathbb{C}<\/span>, en construisant les quaternions comme mathbb{H} := mathbb{C}+jmathbb{C}<\/span>. J’omets des d\u00e9tails importants dans les deux cas, mais quoi qu’il en soit, nous obtenons les quaternions. Ceux-ci se comportent un peu comme les nombres complexes, mais nous devons renoncer \u00e0 la commutativit\u00e9.<\/p>\n Si nous r\u00e9p\u00e9tons la construction de Cayley-Dickson, nous obtenons les octonions mathbb{O} := mathbb{H}+kmathbb{H}<\/span>. Cette fois-ci, la nouvelle alg\u00e8bre est non associative. (Tout comme Inanna descendant aux enfers, notre alg\u00e8bre doit renoncer \u00e0 une propri\u00e9t\u00e9 \u00e0 chaque porte.) Comme les alg\u00e8bres de Clifford sont construites pour \u00eatre associatives, l’alg\u00e8bre de Clifford \u00e0 trois g\u00e9n\u00e9rateurs ne peut pas \u00eatre les octonions, bien qu’elles soient li\u00e9es. Cependant, les octonions conservent une trace d’associativit\u00e9 : elles constituent une alg\u00e8bre alternative, ce qui signifie que les triplets de la forme (xx)y=x(xy)<\/span> et (xy)y=x(yy)<\/span> s’associent.<\/p>\n R\u00e9p\u00e9tez la construction une fois de plus, et Inanna perd son dernier attribut : les s\u00e9d\u00e9nions, mathbb{S} := mathbb{O}+ellmathbb{O}<\/span>, sont simplement associatifs en puissance, avec (xx)x = x(xx)<\/span>. (Vous connaissez depuis l’\u00e9cole primaire une autre op\u00e9ration non altern\u00e9e mais associative en puissance : la moyenne, frac{x+y}{2}<\/span> !) Pire encore, l’alg\u00e8bre des s\u00e9d\u00e9nions a des diviseurs de z\u00e9ro et n’a donc pas de norme multiplicative. Il ne reste plus grand-chose \u00e0 perdre en r\u00e9p\u00e9tant encore la construction.<\/p>\n Pendant ce temps, les alg\u00e8bres de Clifford ne font que s’\u00e9chauffer pour un mod\u00e8le de p\u00e9riodicit\u00e9 de Bott. Et il existe des hybrides entre les deux familles d’alg\u00e8bres. Fascinant, n’est-ce pas ?<\/p>\n","protected":false},"author":11,"template":"","section":[23],"keyword":[],"class_list":["post-19795","article","type-article","status-publish","hentry","section-editorial-2"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Dawson"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Robert"},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":"rjmdawson@gmail.com"},"author-institution":{"type":"textfield","raw":"Saint Mary's University"},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":"Editor, CMS Notes"}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"https:\/\/notes.math.ca\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/4-Inanna-et-les-algebres-\u2013-Notes-de-la-SMC.pdf","attachment_id":19797},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"2"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Dawson"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Robert"}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19795","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19795\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":19796,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19795\/revisions\/19796"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=19795"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=19795"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=19795"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}