Il fut un temps o\u00f9 mon universit\u00e9 (Simon Fraser University) menait une enqu\u00eate sur les conditions d’emploi du corps professoral. L’enqu\u00eate \u00e9tait plut\u00f4t ennuyeuse, mais elle donnait \u00e0 mes coll\u00e8gues l’occasion de se plaindre du manque de temps pour la recherche, du soutien insuffisant de l’administration, des classes surcharg\u00e9es, de la mauvaise ventilation, etc. Mais cette enqu\u00eate comportait \u00e9galement une question int\u00e9ressante : \u00ab Qu’est-ce qui vous pla\u00eet dans votre travail \u00e0 SFU ? \u00bb. Comme cette question se trouvait \u00e0 la fin d’un questionnaire de plusieurs pages, j’ai r\u00e9pondu \u00ab la possibilit\u00e9 de skier en semaine \u00bb. Si les habitants de Vancouver savent de quoi je parle, le reste des Canadiens aura peut-\u00eatre besoin d’une explication. Les trois montagnes locales de Vancouver sont bond\u00e9es le week-end, de sorte que seuls ceux qui ont des horaires de travail flexibles (ou les riches sans emploi) peuvent \u00e9chapper \u00e0 la foule et profiter des pistes en semaine.<\/p>\n
Blague \u00e0 part, je voudrais donner une r\u00e9ponse un peu plus s\u00e9rieuse \u00e0 la question de savoir ce que j’aime dans mon m\u00e9tier d’enseignant et de chercheur en math\u00e9matiques. C’est l’occasion d’approfondir ma compr\u00e9hension des math\u00e9matiques<\/em>.\u00a0 Et il y a toujours une occasion d’approfondir les math\u00e9matiques que vous connaissez d\u00e9j\u00e0, ou que vous pensez conna\u00eetre.<\/p>\n Je vais illustrer mon propos par un exemple.<\/p>\n Quelles fonctions sont inversibles ? Autrement dit, quelles conditions doivent \u00eatre remplies pour qu’une fonction ait une inverse ? J’invite les lecteurs \u00e0 r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 leur propre r\u00e9ponse avant de poursuivre leur lecture.<\/p>\n Cette question plut\u00f4t simple, \u00e0 laquelle un \u00e9l\u00e8ve du secondaire pourrait r\u00e9pondre, a donn\u00e9 lieu \u00e0 un d\u00e9saccord majeur entre moi-m\u00eame et un coll\u00e8gue tr\u00e8s respect\u00e9 et tr\u00e8s comp\u00e9tent. Alors que j’affirmais avec v\u00e9h\u00e9mence que pour avoir une inverse, une fonction doit \u00eatre bijective (injective) et surjective, mon coll\u00e8gue soutenait avec passion que seule l’injectivit\u00e9 \u00e9tait requise. Il convient de noter qu’au moment o\u00f9 j’\u00e9cris ces lignes, l’IA est d’accord avec moi, mais notre d\u00e9saccord a eu lieu avant que l’IA ne devienne l’arbitre ultime, et il existe de nombreuses ressources, y compris des manuels scolaires, qui soutiennent l’une ou l’autre des th\u00e8ses. Alors, qu’en est-il exactement ? Ou plut\u00f4t, qui a raison ?<\/p>\n Cela me rappelle une vieille parabole dans laquelle deux hommes s’approchent d’un rabbin pour lui demander son avis sur leurs arguments contradictoires. Le rabbin \u00e9coute attentivement le premier homme et lui dit : \u00ab Tu as raison \u00bb. Puis il \u00e9coute le deuxi\u00e8me homme et lui dit \u00e9galement : \u00ab Tu as raison \u00bb. Un troisi\u00e8me homme, qui a \u00e9t\u00e9 t\u00e9moin de la sc\u00e8ne, s’approche du rabbin, perplexe, et lui dit : \u00ab Ils pr\u00e9sentent des points de vue contradictoires, ils ne peuvent pas avoir tous les deux raison ! \u00bb\u00a0 Ce \u00e0 quoi le rabbin r\u00e9pond : \u00ab En effet, tu as raison, mais… \u00bb.<\/p>\n Pour en revenir aux conditions d’inversibilit\u00e9 d’une fonction, le point de vue \u00ab correct \u00bb d\u00e9pend de la d\u00e9finition (implicite) d’une fonction. En fait, il existe deux d\u00e9finitions l\u00e9g\u00e8rement diff\u00e9rentes, mais toutes deux accept\u00e9es par la communaut\u00e9 math\u00e9matique. L’une est la \u00ab d\u00e9finition des paires ordonn\u00e9es \u00bb, c’est-\u00e0-dire qu’une fonction est un ensemble de paires ordonn\u00e9es qui est univalent. L’unicit\u00e9 signifie qu’un \u00e9l\u00e9ment ne peut appara\u00eetre en premi\u00e8re position dans plus d’un couple ordonn\u00e9. Formellement, si (a,b) in<\/span>\u00a0 f\u00a0 et (a,c) in<\/span> f , alors b=c. L’autre est la \u00ab d\u00e9finition par triplets \u00bb, c’est-\u00e0-dire qu’une fonction est un triplet (F, A, B), o\u00f9 A et B sont des ensembles et F est un ensemble univalent de couples ordonn\u00e9s (x,y) o\u00f9 x in<\/span> A et y in<\/span> B. Autrement dit, pour tout x dans A, il existe un y unique dans B (univalent) tel que (x,y) est un \u00e9l\u00e9ment de F. L’ensemble A est le domaine de la fonction, B est le codomaine.<\/p>\n Bien que la similitude soit \u00e9vidente, une diff\u00e9rence notable r\u00e9side dans la mention explicite du domaine et du codomaine dans la \u00ab d\u00e9finition triple \u00bb. Ainsi, l’adoption (m\u00eame implicite) de cette derni\u00e8re d\u00e9finition n\u00e9cessite une bijection (\u00e0 la fois injection et surjection) pour l’inversibilit\u00e9 de la fonction, tandis que dans le cas de la \u00ab d\u00e9finition par paires ordonn\u00e9es \u00bb, l’injection suffit pour l’existence d’une inverse.<\/p>\n Ces questions sont explor\u00e9es et illustr\u00e9es de mani\u00e8re claire dans Mirin, Milner, Wasserman et Weber, K. (2020) (demandez-moi une copie si vous ne pouvez pas vous la procurer facilement !). En fait, cet article sugg\u00e8re de \u00ab consulter Zazkis & Marmur (2018) pour une explication plus approfondie \u00bb.<\/p>\n C’est l\u00e0 qu’a commenc\u00e9 le d\u00e9saccord entre les auteurs et l’\u00e9diteur concernant l’exigence d’inversibilit\u00e9, et les parties ont respectueusement convenu de ne pas \u00eatre d’accord. Il est int\u00e9ressant de noter que mon enqu\u00eate informelle, qui consistait \u00e0 interroger plusieurs coll\u00e8gues math\u00e9maticiens, a sugg\u00e9r\u00e9 que les personnes ayant suivi une formation math\u00e9matique en Am\u00e9rique du Nord ont tendance \u00e0 affirmer que l’injection est une exigence suffisante, tandis que celles ayant suivi une formation math\u00e9matique en Europe penchent plut\u00f4t pour la bijection. Confirmez-vous cette observation ?<\/p>\n Enfin,<\/p>\n Ces deux fonctions sont-elles \u00e9quivalentes ?<\/p>\n g: R\u2192R, o\u00f9 g(x) = x2<\/sup><\/p>\n h: R\u2192[0, \u221e), o\u00f9 h(x) = x2<\/sup><\/p>\n Je pense que c’est un bon exercice pour les \u00e9tudiants de premier cycle, qui, je l’esp\u00e8re, suscitera un d\u00e9saccord et permettra de \u00ab mieux \u00bb comprendre ce qu’ils avaient compris auparavant.<\/p>\n R\u00e9f\u00e9rences:<\/em><\/p>\n Mirin, A., Milner, F., Wasserman, N., & Weber, K. (2020). On two definitions of \u2018function\u2019.\u00a0For the learning of mathematics, 41<\/em>(3), 21-24.<\/p>\n Zazkis R. & Marmur O. (2018). Groups to the rescue: responding to situations of contingency. In Wasserman, N. (Ed.)\u00a0Connecting Abstract Algebra to Secondary Mathematics, for Secondary Mathematics Teachers<\/em>, 363\u2014381. Springer.<\/p>\n","protected":false},"author":11,"template":"","section":[68],"keyword":[],"class_list":["post-19811","article","type-article","status-publish","hentry","section-notes-pedagogiques"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Zazkis"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Rina"},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":""},"author-institution":{"type":"textfield","raw":"Simon Fraser University"},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"https:\/\/notes.math.ca\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/Sur-les-fonctions-inversibles-et-les-fonctions-en-general-\u2013-Notes-de-la-SMC.pdf","attachment_id":20040},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"3"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Zazkis"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Rina"}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19811","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19811\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":20037,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19811\/revisions\/20037"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=19811"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=19811"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=19811"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}