https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=sZffgf4GoMQ<\/a>).<\/p>\nComme son nom l’indique, cette \u00e9tude pour piano comporte de nombreux facteurs de 6 tout au long du morceau, \u00e0 commencer par le plus \u00e9l\u00e9mentaire : elle est en mesure 4\/4 (il y a 6 noires dans chaque mesure) et doit \u00eatre jou\u00e9e \u00e0 \u2669=132 = 6 \u2022 22 battements par minute. Il est impressionnant de constater que dans l’enregistrement que j’ai utilis\u00e9 comme exemple, V\u00edkingur \u00d3lafsson interpr\u00e8te cette pi\u00e8ce \u00e0 un rythme effr\u00e9n\u00e9 de 216 battements par minute, soit 6 \u2022 36. Comme ma pr\u00e9sentation \u00e9tait ax\u00e9e sur l’aspect \u00e9ducatif, j’ai pass\u00e9 beaucoup de temps \u00e0 parcourir les programmes scolaires et universitaires de math\u00e9matiques afin d’ancrer les concepts que je pr\u00e9sentais dans la pi\u00e8ce aux objectifs p\u00e9dagogiques de la Saskatchewan.<\/p>\n
L’une des caract\u00e9ristiques structurelles les plus notables (jeu de mots intentionnel) de cette \u00e9tude est l’utilisation par Glass de s\u00e9quences additives, de sym\u00e9trie et de transformations, des concepts qui correspondent clairement aux id\u00e9es math\u00e9matiques enseign\u00e9es dans les programmes de math\u00e9matiques pr\u00e9-calcul, calcul et universitaires de la Saskatchewan. Ces concepts sont particuli\u00e8rement pr\u00e9sents au d\u00e9but de la pi\u00e8ce, o\u00f9 de courts motifs rythmiques ou m\u00e9lodiques sont progressivement d\u00e9velopp\u00e9s en ajoutant de petites unit\u00e9s au fil du temps, \u00e0 l’instar des s\u00e9quences math\u00e9matiques ou des transformations de fonctions. Dans la derni\u00e8re partie de l’\u00e9tude, Glass utilise un processus de minimalisme et de r\u00e9duction : plut\u00f4t que d’introduire de nouveaux \u00e9l\u00e9ments, il supprime ou simplifie syst\u00e9matiquement les couches musicales existantes. Cette \u00ab r\u00e9duction \u00bb musicale refl\u00e8te les concepts math\u00e9matiques de ratio et de proportion, o\u00f9 les relations entre les quantit\u00e9s deviennent plus visibles et structurellement significatives \u00e0 mesure que la texture s’amenuise. Par exemple, les motifs r\u00e9p\u00e9t\u00e9s peuvent \u00eatre r\u00e9duits de moiti\u00e9, les rythmes ralentis de mani\u00e8re proportionnelle ou le contenu harmonique distill\u00e9 \u00e0 ses intervalles les plus simples. Si le minimalisme est souvent d\u00e9crit comme un genre stylistique, il sert dans ce contexte de m\u00e9canisme formel pour apporter une cl\u00f4ture structurelle, refl\u00e9tant l’\u00e9l\u00e9gance math\u00e9matique que l’on trouve dans les expressions simplifi\u00e9es ou les preuves concises.<\/p>\n
Les polyrythmes, qui consistent \u00e0 jouer simultan\u00e9ment deux ou plusieurs motifs rythmiques diff\u00e9rents, jouent un r\u00f4le central tout au long de l’\u00e9tude. Par exemple, les auditeurs peuvent entendre un motif trois contre deux contre un, o\u00f9 une couche est compos\u00e9e de triolets (trois notes par temps), une autre de duolets (deux notes par temps) et une troisi\u00e8me couche de noires r\u00e9guli\u00e8res (une note par temps). Cette superposition devient encore plus complexe dans la septi\u00e8me section de la pi\u00e8ce, o\u00f9 appara\u00eet un motif cinq contre deux contre un, une coordination exceptionnellement complexe de flux rythmiques ex\u00e9cut\u00e9e \u00e0 la perfection par \u00d3lafsson. Ces rythmes qui se chevauchent cr\u00e9ent des cycles qui ne s’alignent qu’\u00e0 certains moments, en fonction de leur plus petit commun multiple (PCM), un concept familier dans les cours de math\u00e9matiques du coll\u00e8ge. Par exemple, un motif 3 contre 2 s’aligne tous les 6 temps, tandis qu’un motif 5 contre 2 s’aligne tous les 10 temps. Cette propri\u00e9t\u00e9 offre aux \u00e9tudiants un moyen direct et attrayant d’explorer les concepts de la th\u00e9orie des nombres en temps r\u00e9el. Au-del\u00e0 du PCM, les polyrythmes constituent \u00e9galement une porte d’entr\u00e9e vers les permutations et les combinaisons, car chaque couche rythmique peut changer de position, d’ordre ou d’accentuation. L’analyse de la fa\u00e7on dont ces rythmes se r\u00e9p\u00e8tent, s’entrecroisent et se transforment au fil du temps permet aux \u00e9tudiants d’appr\u00e9hender la structure math\u00e9matique non seulement comme une logique abstraite, mais aussi comme quelque chose d’audible, de physique et d’expressif.<\/p>\n
L’\u00e9tude de Glass repose sur l’it\u00e9ration, avec des motifs r\u00e9p\u00e9titifs (courtes id\u00e9es musicales) qui \u00e9voluent progressivement gr\u00e2ce \u00e0 de subtils changements de rythme et d’harmonie. En musique, le rythme fait r\u00e9f\u00e9rence au timing des sons et des silences, y compris la dur\u00e9e des notes et leur espacement dans le temps. L’harmonie, quant \u00e0 elle, implique la combinaison de notes jou\u00e9es simultan\u00e9ment, cr\u00e9ant des accords et une sensation de couleur tonale ou de tension. Dans cette \u00e9tude, Glass modifie \u00e0 la fois le placement rythmique et le contexte harmonique des motifs, cr\u00e9ant ainsi une impression dynamique de mouvement au sein d’une structure apparemment r\u00e9p\u00e9titive. Ces motifs \u00e9volutifs ressemblent beaucoup \u00e0 des s\u00e9quences math\u00e9matiques, o\u00f9 chaque \u00e9l\u00e9ment est d\u00e9riv\u00e9 du pr\u00e9c\u00e9dent selon une r\u00e8gle ou une transformation sp\u00e9cifique. En traitant les motifs musicaux comme des \u00e9l\u00e9ments d’une s\u00e9quence, voire comme des fonctions ou des ensembles, les \u00e9tudiants peuvent explorer la structure et le d\u00e9veloppement de la pi\u00e8ce \u00e0 l’aide de concepts math\u00e9matiques tels que la sym\u00e9trie (lorsqu’un motif se refl\u00e8te ou pivote), la p\u00e9riodicit\u00e9 (lorsque les motifs se r\u00e9p\u00e8tent \u00e0 intervalles r\u00e9guliers) et la transformation (la mani\u00e8re dont les motifs changent progressivement au fil du temps).<\/p>\n
La nature cyclique de ces motifs se pr\u00eate \u00e0 une analyse par l’arithm\u00e9tique modulaire. Tout comme les syst\u00e8mes modulaires se r\u00e9p\u00e8tent apr\u00e8s avoir atteint une certaine valeur, les motifs de Glass se r\u00e9p\u00e8tent \u00e0 intervalles r\u00e9guliers et peuvent \u00eatre examin\u00e9s \u00e0 l’aide d’approches bas\u00e9es sur le modulo (par exemple, en analysant un motif qui se r\u00e9p\u00e8te tous les 8 temps avec mod 8). Cette approche math\u00e9matique pourrait aider \u00e0 comprendre la structure compositionnelle de la pi\u00e8ce et fournir un point d’entr\u00e9e cr\u00e9atif pour relier la musique au raisonnement math\u00e9matique en classe.<\/p>\n
L’utilisation des nuances (les diff\u00e9rents niveaux d’intensit\u00e9 sonore dans la musique) par Glass est une autre caract\u00e9ristique qui peut \u00eatre explor\u00e9e \u00e0 travers des concepts math\u00e9matiques. Dans la notation musicale occidentale, les nuances sont indiqu\u00e9es par des lettres : p (piano) signifie doux, mp (mezzo piano) signifie mod\u00e9r\u00e9ment doux, mf (mezzo forte) signifie mod\u00e9r\u00e9ment fort et f (forte) signifie fort. Ces indications dynamiques changent progressivement tout au long de l’\u00c9tude n\u00b0 6, cr\u00e9ant des motifs de croissance et de d\u00e9croissance exponentielles. Par exemple, si nous attribuons des valeurs num\u00e9riques \u00e0 ces dynamiques : p = 1, mp = 2, mf = 4 et f = 8, nous pouvons commencer \u00e0 voir une progression g\u00e9om\u00e9trique dans la fa\u00e7on dont l’intensit\u00e9 augmente et diminue. Une s\u00e9quence dynamique telle que p \u2013 mp \u2013 mf \u2013 mp correspondrait au mod\u00e8le num\u00e9rique 1 \u2192 2 \u2192 4 \u2192 2, illustrant un effet de doublement et de division par deux qui refl\u00e8te un comportement exponentiel. Ce type de cartographie structur\u00e9e permet aux \u00e9tudiants de visualiser et d’analyser les changements dynamiques sous forme de s\u00e9quences g\u00e9om\u00e9triques ou de fonctions exponentielles, offrant ainsi un moyen tangible et expressif de relier les math\u00e9matiques \u00e0 l’interpr\u00e9tation musicale.<\/p>\n
Dans l’espoir de susciter l’int\u00e9r\u00eat de mes coll\u00e8gues universitaires, je suis arriv\u00e9e \u00e0 la conf\u00e9rence, nerveuse, pr\u00eate \u00e0 pr\u00e9senter un expos\u00e9 sur une collaboration entre la musique et les math\u00e9matiques. Imaginez ma surprise lorsque la salle, jusque-l\u00e0 vide, s’est soudainement remplie de gourous des math\u00e9matiques juste avant mon expos\u00e9 ! Sous le choc (et encore plus nerveuse) j’ai r\u00e9ussi \u00e0 terminer mes vingt minutes d’expos\u00e9 en un seul morceau (encore une fois, jeu de mots intentionnel), suivies d’une s\u00e9ance anim\u00e9e de questions-r\u00e9ponses de dix minutes. Puis, aussi vite qu’ils \u00e9taient venus, les participants ont disparu, me laissant bouche b\u00e9e.<\/p>\n
Les liens entre les math\u00e9matiques et la musique ne sont pas nouveaux ; il suffit de se r\u00e9f\u00e9rer au Quadrivium de Platon pour appr\u00e9cier leurs fondements communs. N\u00e9anmoins, l’accueil enthousiaste r\u00e9serv\u00e9 \u00e0 ma pr\u00e9sentation sugg\u00e8re qu’il existe encore un terrain fertile pour un dialogue renouvel\u00e9, en particulier dans le contexte p\u00e9dagogique contemporain. Plut\u00f4t qu’une conclusion, cette exp\u00e9rience m’a sembl\u00e9 \u00eatre le point de d\u00e9part d’une r\u00e9flexion plus approfondie. Je me r\u00e9jouis de poursuivre ce travail et de m’engager avec d’autres personnes int\u00e9ress\u00e9es par l’exploration des possibilit\u00e9s \u00e9ducatives \u00e0 l’intersection de la musique et des math\u00e9matiques.<\/p>\n
<\/p>\n","protected":false},"author":11,"template":"","section":[68],"keyword":[],"class_list":["post-19822","article","type-article","status-publish","hentry","section-notes-pedagogiques"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Elliott"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Sandra"},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":""},"author-institution":{"type":"textfield","raw":"University of Saskatchewan"},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"https:\/\/notes.math.ca\/wp-content\/uploads\/2025\/06\/8-Au-dela-des-fractions-_-la-ou-la-musique-et-les-mathematiques-se-rencontrent-\u2013-Notes-de-la-SMC.pdf","attachment_id":19828},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"4"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Elliott"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Sandra"}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19822","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19822\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":19827,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/19822\/revisions\/19827"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=19822"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=19822"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=19822"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}