{"id":20411,"date":"2025-11-27T08:25:14","date_gmt":"2025-11-27T13:25:14","guid":{"rendered":"https:\/\/notes.math.ca\/article\/fonctions-et-fonctions-inversibles-reponse\/"},"modified":"2025-11-27T08:33:42","modified_gmt":"2025-11-27T13:33:42","slug":"fonctions-et-fonctions-inversibles-reponse","status":"publish","type":"article","link":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/article\/fonctions-et-fonctions-inversibles-reponse\/","title":{"rendered":"Fonctions et fonctions inversibles : r\u00e9ponse"},"content":{"rendered":"

Votre professeur arrive en classe et dit : \u00ab Aujourd’hui, nous allons parler des anneaux. \u00bb Quelle est votre premi\u00e8re r\u00e9action ? Perplexe, vous r\u00e9fl\u00e9chissez et vous avez envie de demander : \u00ab Que voulez-vous dire ? \u00bb Que pourrait bien \u00eatre cet \u00ab anneau \u00bb ? Peut-\u00eatre que le professeur pense aux anneaux de Saturne, ou peut-\u00eatre parle-t-il d’un anneau de boxe, un anneau de fian\u00e7ailles… ou peut-\u00eatre \u00e0 l’anneau du Seigneur des Anneaux<\/em>. Vous vous grattez la t\u00eate… Peut-\u00eatre s’agit-il d’un anneau commutatif, d’un anneau comme la r\u00e9gion entre des cercles concentriques, ou d’un anneau borrom\u00e9en ; ou encore d’un mod\u00e8le en anneau comme dans une configuration circulaire de neurones dans un r\u00e9seau ? L’annonce de votre professeur est pour le moins ambigu\u00eb<\/em> !<\/p>\n

Cet article est une r\u00e9ponse \u00e0 l’article \u00ab On invertible functions and on functions in general \u00bb publi\u00e9 dans les Notes de la SMC (juin 2025), qui souligne l’importance de la d\u00e9finition initiale d’une fonction et des conditions n\u00e9cessaires \u00e0 l’inversibilit\u00e9 d’une fonction.<\/p>\n

Un peu de contexte. En tant qu’\u00e9ducateurs (en particulier ceux d’entre nous qui sont impliqu\u00e9s dans la formation des enseignants du primaire et du secondaire et dans la recherche sur l’enseignement sup\u00e9rieur), nous discutons r\u00e9guli\u00e8rement de situations qui impliquent des ambigu\u00eft\u00e9s<\/em>, des impr\u00e9cisions<\/em>, des impr\u00e9cisions<\/em> ou des \u00e9nonc\u00e9s incomplets<\/em> en math\u00e9matiques. Par exemple, l’exposant\u00a0 \u22121 <\/span> peut d\u00e9signer une fonction r\u00e9ciproque ou inverse (le fait que sin^{-1}x<\/span> puisse signifier csc x<\/span> ou arcsin x<\/span> peut \u00eatre source de confusion). La signification du terme \u00ab multiplication \u00bb d\u00e9pend du contexte (produit de nombres r\u00e9els, de fonctions, de matrices, produit scalaire, etc.), ce qui signifie que nous devons \u00eatre vigilants et toujours nous demander \u00ab que se passe-t-il ici ? \u00bb. Aborder de telles situations avec nos \u00e9l\u00e8ves pourrait mener \u00e0 des discussions productives, qui approfondiraient leur compr\u00e9hension. Affirmer que 0.999ldots<\/span> est \u00e9gal \u00e0 1<\/span> implique de se demander \u00ab que signifie r\u00e9ellement 0.999ldots<\/span> ? \u00bb, puis d’utiliser les outils appropri\u00e9s (s\u00e9rie g\u00e9om\u00e9trique) pour trouver la r\u00e9ponse.<\/p>\n

Jusqu’ici, tout va bien \u2013 alors quel est le probl\u00e8me (c’est-\u00e0-dire, pourquoi cette r\u00e9ponse) ? La question que nous posons est la suivante : \u00ab Jusqu’o\u00f9 devons-nous aller au-del\u00e0 de l’identification des ambigu\u00eft\u00e9s et de la discussion de leur valeur p\u00e9dagogique, c’est-\u00e0-dire \u00e0 quel moment passons-nous de la remise en question des d\u00e9finitions disponibles au choix de celle avec laquelle nous allons travailler ? \u00bb Pour illustrer cela, nous nous penchons sur Tsamir et Tirosh (2025), qui opposent les d\u00e9finitions concurrentes suivantes :<\/p>\n

D\u00e9finition 1 : Une fonction f<\/span> est dite croissante si f(x_1)leq f(x_2)<\/span> chaque fois que x_1<x_2.<\/span><\/p>\n

D\u00e9finition 2 : Une fonction f<\/span> est dite croissante si f(x_1) < f(x_2)<\/span> chaque fois que x_1<x_2<\/span><\/p>\n

Les auteurs utilisent des exemples (et des contre-exemples) pour illustrer les diff\u00e9rences entre les deux d\u00e9finitions, et c’est l\u00e0 que s’arr\u00eate leur r\u00e9cit. Bien s\u00fbr, quiconque enseigne le calcul diff\u00e9rentiel ne peut se permettre de s’arr\u00eater l\u00e0 : il doit choisir une d\u00e9finition afin de pouvoir avancer et continuer \u00e0 d\u00e9velopper des concepts math\u00e9matiques.<\/p>\n

En enseignement des math\u00e9matiques, il existe un concept appel\u00e9 \u00ab connaissance du contenu horizon \u00bb, souvent abr\u00e9g\u00e9 en HCK. Le principe de base (adapt\u00e9 \u00e0 notre argumentation) est que, lorsque nous sommes confront\u00e9s \u00e0 une d\u00e9cision (comme ci-dessus : d\u00e9finition 1 ou d\u00e9finition 2 ?), nous regardons vers l’avenir, c’est-\u00e0-dire que ce qui se passe plus tard (dans notre cours ou dans un manuel) influence les d\u00e9cisions que nous devons prendre maintenant. Comme nous voulons affirmer que les fonctions croissantes sont inversibles (ce qui, si l’on regarde plus loin, est \u00e9galement un th\u00e9or\u00e8me en analyse), nous devons adopter la d\u00e9finition 2 (et c’est ce que font les manuels de calcul).<\/p>\n

Face \u00e0 des ambigu\u00eft\u00e9s, nous devons tenir compte du contexte et de l’objectif. Cela signifie non seulement \u00ab r\u00e9troconcevoir \u00bb le mat\u00e9riel ou d\u00e9cider de ce qui est important ou pertinent, mais aussi garder \u00e0 l’esprit qui est notre public (\u00e9tudiants en math\u00e9matiques et en statistiques, \u00e9tudiants en sciences de la vie, ing\u00e9nieurs, \u00e9tudiants en \u00e9conomie, etc.<\/p>\n

Zazkis (2025) oppose deux d\u00e9finitions d’une fonction, identifi\u00e9es comme la d\u00e9finition de la paire ordonn\u00e9e (Halmos, 1960) et la d\u00e9finition triple de Bourbaki (Bourbaki, 1968), en commentant que \u00ab bien que la similitude soit \u00e9vidente, une diff\u00e9rence notable r\u00e9side dans la mention explicite du domaine et du codomaine dans la \u201cd\u00e9finition triple\u201d \u00bb.<\/p>\n

Halmos (1960) d\u00e9finit une fonction comme une relation (p. 30) ; auparavant, en parlant des relations (p. 27), il d\u00e9finit deux ensembles associ\u00e9s : le domaine et l’image d’une relation. Ainsi, m\u00eame si cela n’est pas explicitement mentionn\u00e9, une fonction est associ\u00e9e \u00e0 un domaine et \u00e0 une image. La triple d\u00e9finition de Bourbaki conceptualise une fonction comme un triplet (D,F,E)<\/span>, o\u00f9 D<\/span> et E<\/span> sont des ensembles et F<\/span> est un sous-ensemble de Dtimes E<\/span> avec la propri\u00e9t\u00e9 que pour chaque xin D<\/span> il existe un unique yin E<\/span> tel que (x,y)in F.<\/span><\/p>\n

La r\u00e9solution de la question soulev\u00e9e (Quelles conditions garantissent l’inversibilit\u00e9 d’une fonction ?) peut \u00eatre obtenue en lisant attentivement les deux r\u00e9f\u00e9rences. La d\u00e9finition d’une fonction comme relation donn\u00e9e par Halmos (1960) signifie qu’une fonction est surjective (c’est-\u00e0-dire sur son image), et donc que seule la bijection est n\u00e9cessaire. La d\u00e9finition de Bourbaki stipule que E est le codomaine (et non l’image), et donc que la surjectivit\u00e9 et l’injection sont toutes deux n\u00e9cessaires. (Nous sommes conscients d’avoir omis certaines subtilit\u00e9s qui pourraient d\u00e9plaire aux sp\u00e9cialistes de la philosophie des math\u00e9matiques.)<\/p>\n

Cette discussion, jusqu’\u00e0 pr\u00e9sent (c’est-\u00e0-dire la comparaison entre les d\u00e9finitions de Halmos et de Bourbaki), n’est pas quelque chose que nous pouvons mener dans la plupart de nos cours de math\u00e9matiques de premi\u00e8re ann\u00e9e \u00e0 l’universit\u00e9. Cependant, comme elle soul\u00e8ve des questions int\u00e9ressantes, nous allons maintenant transposer cette discussion dans le contexte du calcul.<\/p>\n

Une d\u00e9finition courante d’une fonction en calcul est la suivante.<\/p>\n

D\u00e9finition 3. Une fonction f<\/span> est une r\u00e8gle qui associe \u00e0 chaque \u00e9l\u00e9ment x<\/span> d\u2019un ensemble D<\/span> exactement un \u00e9l\u00e9ment, appel\u00e9 f (x)<\/span>, d\u2019un ensemble\u00a0 E<\/span>. (Stewart et al., 2021, p. 8)<\/p>\n

Le contenu pr\u00e9sent\u00e9 avant cette d\u00e9finition (il n’est jamais bon de lire une d\u00e9finition isol\u00e9ment) nous apprend que D<\/span> et E<\/span> sont des sous-ensembles non vides de l’ensemble des nombres r\u00e9els. L’ensemble D<\/span> est appel\u00e9 le domaine de f<\/span> . Certains manuels ne nomment pas explicitement l’ensemble E<\/span> le codomaine de f<\/span> (m\u00eame s’ils utilisent la notation fcolon D rightarrow E<\/span>); cependant, tous les manuels de calcul d\u00e9finissent l’image de\u00a0 f<\/span> comme l\u2019ensemble f (D)<\/span> de toutes les valeurs\u00a0 f (x)<\/span> pour x<\/span> dans le domaine D<\/span> de\u00a0 f<\/span> .<\/p>\n

\u00c0 partir de cette d\u00e9finition, il est clair que si fcolon D rightarrow E <\/span> n’est pas n\u00e9cessairement surjective, la fonction fcolon D rightarrow f(D)<\/span> est toujours surjective. Ainsi, l’\u00e9nonc\u00e9 suivant est vrai.<\/p>\n

Th\u00e9or\u00e8me 1. Supposons qu’une fonction\u00a0 fcolon D rightarrow E<\/span> soit bijective. Alors f<\/span> a une fonction inverse\u00a0 g<\/span> d\u00e9finie sur f (D)<\/span>. (modifi\u00e9 d\u2019apr\u00e8s Stewart et al., 2021, p. 55)<\/p>\n

En \u00e9tudiant les ambigu\u00eft\u00e9s concernant les conditions n\u00e9cessaires pour qu’une fonction ait une fonction inverse, Mirin et al. (2020, p. 23) soul\u00e8vent la question de savoir si f(x)=e^x<\/span> est inversible ou non (car elle n’est pas surjective sur bf R<\/span>). En gardant \u00e0 l’esprit le th\u00e9or\u00e8me 1, une r\u00e9ponse possible est que la fonction fcolon {bf R} rightarrow {bf R}<\/span> d\u00e9finie par f(x)=e^x<\/span> (qui est croissante et donc bijective) a pour fonction inverse g<\/span> (\u00e0 savoir g(x)=f^{-1}(x)=ln x<\/span>) d\u00e9finie sur f({bf{R}})=(0,infty)<\/span>.<\/p>\n

Zazkis (2025) conclut son article en se demandant si les fonctions\u00a0 gcolon {bf R} rightarrow {bf R}<\/span>, d\u00e9finie par g(x)=x^2<\/span>, et hcolon {bf R} rightarrow [0,infty)<\/span>, d\u00e9finie par h(x)=x^2<\/span>, sont \u00e9gales. Bien s\u00fbr, tout d\u00e9pend de la d\u00e9finition que l’on utilise.<\/p>\n

D\u00e9finition 4. Deux fonctions\u00a0 f_1colon D_1 rightarrow E_1<\/span> et f_2colon D_2 rightarrow E_2<\/span> sont dites \u00e9gales si leur domaine D_1<\/span> et D_2<\/span> sont \u00e9gaux, leurs images f(D_1)<\/span> et f(D_2)<\/span> sont \u00e9gales, et\u00a0 f_1(x)=f_2(x)<\/span> pour tout x<\/span> dans\u00a0D_1=D_2<\/span>.<\/p>\n

D\u00e9finition 5. Deux fonctions f_1colon D_1 rightarrow E_1<\/span> et f_2colon D_2 rightarrow E_2<\/span> sont dites \u00e9gales si leur domaine D_1<\/span> et D_2<\/span> sont \u00e9gaux, leurs images E_1<\/span> et E_2<\/span> sont \u00e9gales, et\u00a0 f_1(x)=f_2(x)<\/span> pour tout x<\/span> dans D_1=D_2<\/span>.<\/p>\n

Bien que la d\u00e9finition 4 soit couramment utilis\u00e9e en calcul, elle n’est pas toujours explicitement mentionn\u00e9e ; par exemple, elle n’appara\u00eet pas dans Stewart et al. (2021). Selon la d\u00e9finition 4, les deux fonctions g et h sont \u00e9gales (nous n’utilisons pas le terme \u00ab \u00e9quivalentes \u00bb utilis\u00e9 par Zazkis (2025)). Cependant, cela pourrait ne pas nous satisfaire, car h est surjective, mais g ne l’est pas. Si nous voulons rem\u00e9dier \u00e0 cela, nous devons adopter la d\u00e9finition 5, qui implique que g et h sont deux fonctions diff\u00e9rentes.<\/p>\n

Il existe un autre aspect important de la d\u00e9finition des fonctions \u00e9gales : l’\u00e9galit\u00e9 de leurs domaines. Par exemple, les fonctions ln x^2<\/span> et 2 ln x<\/span> ne sont \u00e9gales que lorsqu’elles sont consid\u00e9r\u00e9es comme des fonctions avec le domaine\u00a0 D={ x in {bf R} , | , x >0}.<\/span> L\u2019\u00e9nonc\u00e9 frac{x^2-1}{x-1}=x+1<\/span> est incorrect, sauf si nous pr\u00e9cisons que x neq 1.<\/span> La formule\u00a0 frac{1}{1-x} = sum_{n=0}^{infty} x^n<\/span> n\u2019est valable que pour\u00a0 |x|<1.<\/span> Et ainsi de suite.<\/p>\n

Comme nous le savons tous, les math\u00e9matiques sont une science infinie. Nous ne consid\u00e9rons donc pas cet article comme une conclusion, mais plut\u00f4t comme une invitation \u00e0 approfondir ces questions (et d’autres).<\/p>\n

R\u00e9f\u00e9rences<\/p>\n

Bourbaki, N. (1968). Theory of Sets<\/em>. Don Mills, ON: Addison-Wesley Publishing.<\/p>\n

Halmos, P.R. (1960). Naive Set Theory<\/em>. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company.<\/p>\n

Mirin, A., Milner, F., Wasserman, N., & Weber, K. (2020). On two definitions of \u2018function\u2019. For the learning of mathematics, 41(3), 21-24.<\/p>\n

Stewart, J., Clegg, D., & Watson, S. (2021). Calculus, Early Transcendentals, 9th Edition. <\/em>Boston, MA, USA: Cengage.<\/p>\n

Tsamir, P. & Tirosh, D. (2025). Nonequivalent definitions: anecdotal incidents or an ordinary constancy? For the Learning of Mathematics<\/em>, 45(1), 39-44.<\/p>\n

Zazkis, R. (2025). On invertible functions and on functions in general Canadian Mathematical Society Notes<\/em>, 37(3).<\/p>\n","protected":false},"author":11,"template":"","section":[68],"keyword":[],"class_list":["post-20411","article","type-article","status-publish","hentry","section-notes-pedagogiques"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":"Lovri\u0107"},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":"Miroslav"},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":"McMaster University"},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Burazin"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Andie"},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":""},"author-institution":{"type":"textfield","raw":"University of Toronto Mississauga"},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"https:\/\/notes.math.ca\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/6-Fonctions-et-fonctions-inversibles-_-reponse-\u2013-Notes-de-la-SMC.pdf","attachment_id":20420},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"3"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Burazin"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Andie"}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/20411","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"version-history":[{"count":6,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/20411\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":20417,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/20411\/revisions\/20417"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=20411"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=20411"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=20411"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}