{"id":20459,"date":"2025-11-27T09:18:46","date_gmt":"2025-11-27T14:18:46","guid":{"rendered":"https:\/\/notes.math.ca\/article\/bons-problemes-denseignement-des-maths\/"},"modified":"2025-11-27T09:29:29","modified_gmt":"2025-11-27T14:29:29","slug":"bons-problemes-denseignement-des-maths","status":"publish","type":"article","link":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/article\/bons-problemes-denseignement-des-maths\/","title":{"rendered":"Bons probl\u00e8mes d\u2019enseignement des maths"},"content":{"rendered":"

Toujours \u00e0 la recherche de bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques, et apr\u00e8s des ann\u00e9es et des ann\u00e9es de recherche, je peux annoncer ouvertement que je suis cribl\u00e9 de bons (et d’autres) probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques. Oui, je fais ici une distinction entre les bons probl\u00e8mes math\u00e9matiques<\/em> et les bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques<\/em>.<\/p>\n

Au cours de ma qu\u00eate perp\u00e9tuelle, j’ai d\u00e9couvert que les bons probl\u00e8mes math\u00e9matiques sont, pour la plupart, de bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques (par exemple, le probl\u00e8me de Monty Hall). Cependant, et c’est ce qui a motiv\u00e9 cet article, de nombreux bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques ne sont pas toujours de bons probl\u00e8mes math\u00e9matiques. Par cons\u00e9quent, les bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques ne b\u00e9n\u00e9ficient pas toujours du m\u00eame niveau d’attention que les bons probl\u00e8mes math\u00e9matiques.<\/p>\n

\u00c9clairons donc ce que je consid\u00e8re comme un tr\u00e8s bon probl\u00e8me d’enseignement des math\u00e9matiques. Je vous demande de bien vouloir me faire plaisir et de prendre un moment pour r\u00e9pondre \u00e0 la question suivante :<\/p>\n

\u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0 \u00a0Un cornet et une cr\u00e8me glac\u00e9e co\u00fbtent ensemble 3,50 $. Si la cr\u00e8me glac\u00e9e co\u00fbte 3,00 $ de plus que le cornet, combien co\u00fbte le cornet ?<\/em><\/p>\n

Avec votre r\u00e9ponse en t\u00eate, je vous demande \u00e0 nouveau votre indulgence et, si vous le souhaitez bien s\u00fbr, prenez un moment pour r\u00e9fl\u00e9chir \u00e0 ce qui pourrait faire du probl\u00e8me du cornet et de la cr\u00e8me glac\u00e9e un bon probl\u00e8me d’enseignement des math\u00e9matiques.<\/p>\n

Pour que nous soyons tous sur la m\u00eame longueur d’onde, la bonne r\u00e9ponse au probl\u00e8me ci-dessus est 25 cents. Pour \u00eatre un peu plus pr\u00e9cis, si le cornet co\u00fbte 0,25 $, alors la cr\u00e8me glac\u00e9e, qui co\u00fbte 3 $ de plus que le cornet, co\u00fbterait 3,25 $, et le cornet (0,25 $) et la cr\u00e8me glac\u00e9e (3,25 $) ensemble (0,25 $ + 3,25 $) co\u00fbteraient 3,50 $. Une solution simple \u00e0 un probl\u00e8me apparemment simple.<\/p>\n

Le plus \u00e9tonnant, cependant, c’est que beaucoup de gens pensent, du moins au d\u00e9but, que la bonne r\u00e9ponse est 50 cents. Ce probl\u00e8me, d\u00e9sormais largement connu sous le nom de \u00ab probl\u00e8me de la batte et de la balle \u00bb (voir, par exemple, le livre de Kahneman, Thinking, Fast and Slow<\/em>), avec diff\u00e9rents chiffres et diff\u00e9rents objets, existe depuis de nombreuses ann\u00e9es dans le domaine de la psychologie. Le fait que notre intuition nous induise (une fois de plus) en erreur, vers une r\u00e9ponse math\u00e9matiquement incorrecte, est sans doute \u00e0 l’origine de l’importance prise par le probl\u00e8me de la batte et de la balle dans le domaine de la psychologie. Je soutiens que ce c\u00e9l\u00e8bre \u00ab probl\u00e8me \u00bb psychologique est un bon probl\u00e8me math\u00e9matique.<\/p>\n

L’un des arguments avanc\u00e9s pour obtenir la r\u00e9ponse incorrecte est que le suppl\u00e9ment de 3 $ pour la cr\u00e8me glac\u00e9e est interpr\u00e9t\u00e9 comme \u00e9tant (ou remplac\u00e9 par) le co\u00fbt de la cr\u00e8me glac\u00e9e ; ainsi, si la cr\u00e8me glac\u00e9e co\u00fbte 3 $ et que le cornet et la cr\u00e8me glac\u00e9e co\u00fbtent 3,50 $, le cornet co\u00fbterait tout simplement 0,50 $. En d’autres termes, si le cornet co\u00fbtait 0,50 $ et la cr\u00e8me glac\u00e9e 3,00 $, alors oui, le cornet et la cr\u00e8me glac\u00e9e co\u00fbteraient 3,50 $ et tout serait parfait, sauf que ce n’est pas le cas. Comme le dit Red Auerbach, \u00ab Ce n’est pas ce que vous dites, c’est ce qu’ils entendent. \u00bb M\u00eame si les paroles de Red r\u00e9sonnent dans mes oreilles, je sais que le probl\u00e8me du cornet et de la cr\u00e8me glac\u00e9e, un probl\u00e8me math\u00e9matique juste correct, est un bon probl\u00e8me d’enseignement des math\u00e9matiques.<\/p>\n

Au-del\u00e0 du fait de le savoir, je pourrais m\u00eame argumenter que ce probl\u00e8me est un tr\u00e8s bon probl\u00e8me d’enseignement des math\u00e9matiques. Je le sais parce que je pose chaque semestre le probl\u00e8me du cornet et de la cr\u00e8me glac\u00e9e aux futurs enseignants de math\u00e9matiques du primaire. En classe, apr\u00e8s avoir d’abord tent\u00e9 de r\u00e9pondre eux-m\u00eames au probl\u00e8me du cornet et de la cr\u00e8me glac\u00e9e, les \u00e9tudiants sont r\u00e9partis en groupes de trois et charg\u00e9s de m’expliquer, en incarnant quelqu’un qui \u00ab ne comprend tout simplement pas \u00bb, pourquoi la r\u00e9ponse au probl\u00e8me n’est pas 50 cents ! En parcourant la salle, en observant et en \u00e9coutant les \u00e9tudiants qui peinent \u00e0 expliquer et \u00e0 comprendre le probl\u00e8me et la solution, je d\u00e9couvre une facette \u00e9trange de l’enseignement et de l’apprentissage des math\u00e9matiques qui, pour moi, est au c\u0153ur m\u00eame d’un bon probl\u00e8me d’enseignement des math\u00e9matiques.<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, apr\u00e8s mon premier essai, j’attire l’attention de la classe pour dire \u00e0 tout le monde que me dire que la bonne r\u00e9ponse est 25 cents, mais que le faire \u00e0 un volume plus \u00e9lev\u00e9 et sur un ton plus agressif chaque fois que je leur dis \u00ab Je ne comprends pas… \u00bb n’est pas la meilleure strat\u00e9gie d’enseignement au monde. Je leur dis \u00e9galement que m\u00eame s’ils peuvent se sentir \u00e0 l’aise avec l’approche de John von Neumann (\u00e0 savoir \u00ab En math\u00e9matiques, on ne comprend pas les choses, on s’y habitue simplement \u00bb) dans leurs futurs cours de math\u00e9matiques, ce n’est pas une m\u00e9thode d’enseignement acceptable pour m’expliquer que la r\u00e9ponse au probl\u00e8me du cornet et de la cr\u00e8me glac\u00e9e n’est pas cinquante cents. \u00ab Essayons encore une fois… \u00bb, dis-je.<\/p>\n

Ma deuxi\u00e8me tourn\u00e9e dans la salle ressemble \u00e0 l’observation de tigres trouvant leurs rayures. La table \u00ab nous aimons l’alg\u00e8bre \u00bb appara\u00eet rapidement, par exemple. Ils m’appellent fi\u00e8rement pour me montrer qu’ils ont d\u00e9fini une variable et que \u00ab Soit x \u00bb (et non c) le co\u00fbt, en dollars, du cornet. C’est bien, leur dis-je, mais je leur explique aussi que ce n’est qu’une autre fa\u00e7on de donner la bonne r\u00e9ponse, bien que de mani\u00e8re plus formelle (pour eux) car l’alg\u00e8bre entre d\u00e9sormais en jeu. La table \u00ab pas 50 cents \u00bb appara\u00eet \u00e9galement. Me montrant quelques calculs approximatifs, ils me demandent de suivre leurs explications selon lesquelles cinquante cents, combin\u00e9s \u00e0 trois dollars et cinquante cents, font quatre dollars. Cherchant \u00e0 obtenir une r\u00e9action de ma part \u00e0 ce stade, j’indique au groupe qu’il est toujours bon de se demander \u00ab Que pensez-vous qu’ils ont pens\u00e9 ? \u00bb. Ce que je recherche vraiment lors de mon deuxi\u00e8me tour, cependant, ce sont ces personnes courageuses, celles qui admettent qu’elles ne comprennent toujours pas la solution, ce qui est essentiel pour mon troisi\u00e8me et dernier tour dans la salle.<\/p>\n

Une fois de plus, j’attire l’attention de toute la salle et je fais remarquer que notre classe semble \u00eatre dans une bonne position. Certains groupes m’ont d\u00e9montr\u00e9 de mani\u00e8re convaincante que la bonne r\u00e9ponse est 25 cents. D’autres groupes m’ont \u00e9galement d\u00e9montr\u00e9 de mani\u00e8re convaincante que la r\u00e9ponse n’est pas 50 cents. Le seul probl\u00e8me, dis-je \u00e0 la classe, c’est que m\u00eame si beaucoup d’entre eux d\u00e9bordent d\u00e9sormais de confiance, il y a encore quelques individus qui, il faut l’admettre, ne voient pas encore ce qu’ils voient. Je demande donc \u00e0 chaque groupe d’\u00e9laborer un plan, une strat\u00e9gie, une approche, une m\u00e9thode (peu importe le nom qu’ils lui donnent) pour aider \u00e0 comprendre comment quelqu’un est arriv\u00e9 \u00e0 la mauvaise r\u00e9ponse, puis pour aider cette m\u00eame personne \u00e0 passer de sa mauvaise r\u00e9ponse (50 cents ou une autre r\u00e9ponse) \u00e0 la bonne r\u00e9ponse (25 cents).<\/p>\n

De temps \u00e0 autre, ma foi dans l’enseignement et l’apprentissage des math\u00e9matiques est restaur\u00e9e. Avoir une salle remplie de futurs professeurs de math\u00e9matiques, tous en train d’\u00e9laborer un plan pour aider chacun d’entre eux \u00e0 comprendre la solution au probl\u00e8me du cornet et de la glace, est l’un de ces moments. Cependant, ce n’est pas leur aide et leur attention qui restaurent ma foi. C’est la mani\u00e8re dont ils s’y prennent.<\/p>\n

Dans le cadre d’une approche appel\u00e9e \u00ab Boucle d’or et les cinq exemples \u00bb, les groupes commencent par cr\u00e9er des tableaux clairs et pr\u00e9cis montrant que le cornet ne peut pas co\u00fbter, par exemple, une cenne. Dans ce cas, le cornet (une cenne) et la cr\u00e8me glac\u00e9e (trois dollars et une cenne) co\u00fbteraient ensemble 3,02 $. Ensuite, ils d\u00e9montrent que le cornet ne peut pas co\u00fbter dix cents, car le cornet (dix cents) et la cr\u00e8me glac\u00e9e (trois dollars et dix cents) co\u00fbteraient ensemble 3,20 $. En laissant un espace vide au milieu du tableau (pour 25 cents), les groupes d\u00e9montrent ensuite comment le c\u00f4ne co\u00fbtant 35 cents, 50 cents ou un dollar ferait que le co\u00fbt final, en prenant le c\u00f4ne et la cr\u00e8me glac\u00e9e ensemble, serait respectivement de 3,70 $, 4,00 $ et 5,00 $. J’ai pos\u00e9 la question. Pour certains, voir la ligne vide bien visible au milieu du tableau a \u00e9t\u00e9 essentiel pour comprendre, en particulier en voyant 0,35 $. Pour d’autres, voir la colonne avec 3,02 $, 3,20 $, 3,70 $, 4,00 $ et 5,00 $, en particulier lorsqu’elle est pr\u00e9sent\u00e9e sous la forme 3,02 $ (0,01 $ + 3,01 $), 3,20 $ (0,10 $ + 3,10 $), 3,70 $ (0,35 $ + 3,35 $), 4,00 $ (0,50 $ + 3,50 $) et 5,00 $ (1,00 $ + 4,00 $), a \u00e9t\u00e9 d\u00e9terminant pour comprendre. Pour moi, il est int\u00e9ressant de constater que les futurs enseignants de math\u00e9matiques s’appuient sur une approche intuitive de l’enseignement et de l’apprentissage des math\u00e9matiques pour obtenir, d\u00e8s le d\u00e9but de leur carri\u00e8re, un certain succ\u00e8s.<\/p>\n

Il serait difficile de me convaincre que les 5 \u00e0 10 minutes n\u00e9cessaires pour que tous les futurs enseignants de math\u00e9matiques du primaire acceptent la solution correcte au probl\u00e8me du cornet et de la cr\u00e8me glac\u00e9e ne valent pas la peine. Tout le monde, sans doute, tire profit du temps consacr\u00e9 \u00e0 ce probl\u00e8me. Outre les avantages pour les \u00e9tudiants, comme je l’ai mentionn\u00e9, cela me redonne foi dans l’enseignement et l’apprentissage des math\u00e9matiques, mais pas parce que les \u00e9tudiants montrent qu’ils s’y int\u00e9ressent. Les \u00e9tudiants sont de futurs enseignants, bien s\u00fbr qu’ils s’y int\u00e9ressent. Ma foi est plut\u00f4t restaur\u00e9e parce que, associ\u00e9 \u00e0 un probl\u00e8me math\u00e9matique qui induit notre intuition en erreur, il pourrait y avoir math\u00e9matiquement une autre intuition en jeu, une intuition de l’enseignement et de l’apprentissage des math\u00e9matiques, qui nous aide \u00e0 combattre notre r\u00e9ponse math\u00e9matiquement incorrecte, qui d\u00e9coule (une fois de plus) de notre intuition qui nous induit en erreur. L’intuition contre l’intuition ?!<\/p>\n

En fin de compte, les bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques concernent certes les math\u00e9matiques, mais ils ouvrent aussi facilement une fen\u00eatre sur le monde de l’enseignement et de l’apprentissage des math\u00e9matiques. Si vous avez un bon probl\u00e8me d’enseignement des math\u00e9matiques, nous aimerions bien en entendre parler, ici, dans la section \u00ab Notes p\u00e9dagogiques \u00bb des Notes de la SMC. Bien que je sois moi-m\u00eame submerg\u00e9 de bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques, Kseniya et moi-m\u00eame ne souhaiterions rien de mieux que de voir les pages des Notes p\u00e9dagogiques \u00e9galement remplies de bons probl\u00e8mes d’enseignement des math\u00e9matiques. Une vitrine, en quelque sorte.<\/p>\n","protected":false},"author":11,"template":"","section":[68],"keyword":[],"class_list":["post-20459","article","type-article","status-publish","hentry","section-notes-pedagogiques"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Chernoff"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Egan J"},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":"egan.chernoff@usask.ca"},"author-institution":{"type":"textfield","raw":"University of Saskatchewan"},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":"Notes Contributing Editor"}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"https:\/\/notes.math.ca\/wp-content\/uploads\/2025\/11\/10-Bons-problemes-denseignement-des-maths-\u2013-Notes-de-la-SMC.pdf","attachment_id":20468},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"4"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Chernoff"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Egan J"}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/20459","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/20459\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":20467,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/20459\/revisions\/20467"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=20459"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=20459"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=20459"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}