{"id":21177,"date":"2026-04-30T09:50:29","date_gmt":"2026-04-30T13:50:29","guid":{"rendered":"https:\/\/notes.math.ca\/article\/ascetisme-cognitif-et-paradoxes\/"},"modified":"2026-04-30T09:54:26","modified_gmt":"2026-04-30T13:54:26","slug":"ascetisme-cognitif-et-paradoxes","status":"publish","type":"article","link":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/article\/ascetisme-cognitif-et-paradoxes\/","title":{"rendered":"Asc\u00e9tisme cognitif et paradoxes"},"content":{"rendered":"

\u00ab C\u2019est une v\u00e9rit\u00e9 universellement reconnue qu\u2019un c\u00e9libataire pourvu d\u2019une belle fortune doit avoir envie de se marier. \u00bb C’est par cette g\u00e9n\u00e9ralisation que Jane Austen commence Orgueil et Pr\u00e9jug\u00e9s<\/em>. L’assurance avec laquelle elle l’affirme donne au lecteur l’impression qu’elle a toutes les raisons de le faire. On pourrait presque parler d’un th\u00e9or\u00e8me social.<\/p>\n

En g\u00e9n\u00e9ral, la litt\u00e9rature ne regorge pas du genre d\u2019\u00e9nonc\u00e9s que l\u2019on trouve en math\u00e9matiques : th\u00e9or\u00e8mes, corollaires, lemmes ou axiomes. Il existe toutefois une exception \u00e0 cette r\u00e8gle : les paradoxes. La question est de savoir si les paradoxes pr\u00e9sents dans la litt\u00e9rature et ailleurs sont de m\u00eame nature que ceux des math\u00e9matiques. Cet article vise \u00e0 d\u00e9montrer que les r\u00e9actions face aux paradoxes dans d\u2019autres domaines peuvent s\u2019av\u00e9rer utiles pour aborder certains paradoxes math\u00e9matiques.<\/p>\n

Le mot \u00ab paradoxe \u00bb n\u2019a rien de particuli\u00e8rement math\u00e9matique. Tout comme \u00ab orthodoxe \u00bb d\u00e9signe une \u00ab croyance juste \u00bb et \u00ab h\u00e9t\u00e9rodoxe \u00bb une \u00ab croyance diff\u00e9rente \u00bb, \u00ab paradoxe \u00bb d\u00e9signe ce qui est \u00ab au-del\u00e0 de la croyance \u00bb (le pr\u00e9fixe \u00ab para \u00bb a de multiples applications). Ce mot est d\u2019une antiquit\u00e9 v\u00e9n\u00e9rable, et les exemples abondent, m\u00eame \u00e0 l\u2019\u00e9poque grecque. Anthony Gottlieb, par exemple, \u00e9voque le style \u00ab paradoxal \u00bb d\u2019H\u00e9raclite, illustr\u00e9 par des dictons tels que \u00ab La route qui monte et la route qui descend sont la m\u00eame route \u00bb [4, p. 41]. Encore plus connue est l\u2019histoire de Socrate, qui fut perplexe face au verdict de l\u2019oracle de Delphes selon lequel il \u00e9tait le plus sage de tous les Grecs. Il \u00e9tait conscient du peu qu\u2019il savait, mais dans ses conversations avec les autres, ceux-ci semblaient toujours pr\u00e9tendre poss\u00e9der plus de connaissances qu\u2019ils n\u2019en avaient r\u00e9ellement.<\/p>\n

\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n

Figure 1.<\/strong> Capture d’\u00e9cran d’un Socrate vraisemblablement g\u00e9n\u00e9r\u00e9 par IA, signalant une erreur de traduction tir\u00e9e de Apology<\/em>, 21d<\/a>. YouTube video by thevoiceofsocrates<\/a>, 28 novembre 2025.<\/h6>\n

Il y a eu des p\u00e9riodes dans la litt\u00e9rature anglaise o\u00f9 les paradoxes semblaient \u00eatre \u00e0 l’ordre du jour. \u00c0 la fin du XIXe si\u00e8cle, Oscar Wilde et George Bernard Shaw ont diverti les spectateurs avec une multitude de paradoxes, pi\u00e8ce apr\u00e8s pi\u00e8ce. En dehors du th\u00e9\u00e2tre, G.K. Chesterton a largement utilis\u00e9 cet outil dans la critique litt\u00e9raire et m\u00eame en th\u00e9ologie. Plus r\u00e9cemment, Jorge Luis Borges a cr\u00e9\u00e9 des r\u00e9cits entiers sous forme de paradoxes, par exemple \u00ab La Biblioth\u00e8que de Babel \u00bb [2, passim]. L’une des chansons populaires de The Pirates of Penzance<\/em>, un op\u00e9ra de Gilbert et Sullivan, s’appuie sur un paradoxe li\u00e9 aux anniversaires et aux ann\u00e9es bissextiles.<\/p>\n

La religion est depuis longtemps confront\u00e9e au paradoxe, et la phrase attribu\u00e9e \u00e0 Tertullien (\u00ab Credo quia absurdum \u00bb \u2014 \u00ab J’y crois parce que c’est absurde \u00bb) fait partie int\u00e9grante de la th\u00e9ologie chr\u00e9tienne depuis des si\u00e8cles. Dans la tradition bouddhiste, les koans semblent souvent n’\u00eatre rien d’autre que des paradoxes. Dans son ouvrage G\u00f6del, Escher, Bach<\/em>, Douglas Hofstadter consacre plusieurs chapitres aux koans et \u00e0 leur non-interpr\u00e9tabilit\u00e9 [5]. Dans son ouvrage The Uses of Paradox<\/em> [1], Matthew Bagger propose une mani\u00e8re d\u2019aborder les paradoxes dans un contexte religieux, qui sera reprise \u00e0 la fin de cet article.<\/p>\n

Les paradoxes math\u00e9matiques ont eu des r\u00e9percussions diverses. Les cons\u00e9quences du paradoxe de Russell<\/a> (l\u2019impossibilit\u00e9 de d\u00e9terminer si l\u2019ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas des \u00e9l\u00e9ments d\u2019eux-m\u00eames est un \u00e9l\u00e9ment de lui-m\u00eame) sur le projet de Frege dans ses Grundgesetze<\/em> sont bien connues. On peut soutenir que le succ\u00e8s de G\u00f6del, qui a r\u00e9ussi \u00e0 d\u00e9molir les Principia Mathematica<\/em>, reposait sur un paradoxe tel que celui du menteur<\/a>. Le paradoxe de Banach-Tarski<\/a>, en revanche, n\u2019a pas n\u00e9cessit\u00e9 de r\u00e9\u00e9crire les math\u00e9matiques. Sa conclusion (selon laquelle on peut d\u00e9couper une boule en un nombre fini de morceaux puis les r\u00e9assembler pour obtenir une boule deux fois plus grande que la boule d\u2019origine) va \u00e0 l\u2019encontre du bon sens, mais la plupart d\u2019entre nous ne disposons pas du genre de bon sens capable de faire face \u00e0 des couteaux infiniment fins. En revanche, le paradoxe du menteur continue de susciter des r\u00e9ponses philosophiques. Certains ont fait valoir que le probl\u00e8me avec \u00ab Cette affirmation est fausse \u00bb r\u00e9side dans son caract\u00e8re autor\u00e9f\u00e9rentiel, mais les versions propos\u00e9es par Quine et Yablo, entre autres, semblent soulever le m\u00eame probl\u00e8me sans l\u2019autor\u00e9f\u00e9rence [6, p. 9 ; 3, pp. 50\u201351].<\/p>\n

\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n

Figure 2.<\/strong> Une illustration du paradoxe de Banach-Tarski. Illustration de Samuel Velasco pour Max G. Levy, \u201cBanach-Tarski and the Paradox of Infinite Cloning<\/a>,\u201d Quanta Magazine<\/em>, 26 ao\u00fbt 2021.<\/h6>\n

Qu’est-ce qui rend une chose paradoxale ? La collision avec le bon sens prend g\u00e9n\u00e9ralement la forme d’une surprise. Il y a souvent une certaine dose d\u2019humour \u00e0 voir comment le bon sens doit apprendre \u00e0 s\u2019adapter aux calculs. La probabilit\u00e9 offre un certain nombre de paradoxes de ce type, tels que le probl\u00e8me de l\u2019anniversaire<\/a> (il suffit de 23 personnes dans un groupe pour que la probabilit\u00e9 d\u2019avoir un anniversaire en commun soit sup\u00e9rieure \u00e0 1\/2) ou le paradoxe de Simpson<\/a> (ce qui est vrai pour tous les sous-ensembles pris individuellement peut ne plus l\u2019\u00eatre lorsqu\u2019ils sont agr\u00e9g\u00e9s).<\/p>\n

Une analogie plausible pourrait \u00eatre la situation concernant l’hypoth\u00e8se du continuum<\/a>. G\u00f6del a pu d\u00e9montrer que si l’on ajoutait un certain axiome aux axiomes standard de la th\u00e9orie des ensembles, le syst\u00e8me ainsi obtenu \u00e9tait capable de prouver que l’hypoth\u00e8se du continuum (il n’y a pas d’infini entre le nombre des entiers et celui des r\u00e9els) est vraie. Puis Paul Cohen a d\u00e9montr\u00e9 que si l’on ajoutait un axiome diff\u00e9rent aux axiomes standard, le syst\u00e8me ainsi obtenu \u00e9tait capable de montrer que l’hypoth\u00e8se du continuum \u00e9tait fausse. Dans les deux cas, il a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9 que les axiomes suppl\u00e9mentaires \u00e9taient coh\u00e9rents avec les axiomes standard.<\/p>\n

Ce conflit soul\u00e8ve un autre probl\u00e8me qui ne se posait pas dans le cas des g\u00e9om\u00e9tries euclidienne et non euclidienne. En tant que math\u00e9matiques pures, elles peuvent \u00eatre tout aussi l\u00e9gitimes l\u2019une que l\u2019autre, mais lorsqu\u2019il s\u2019est agi de les confronter \u00e0 la structure de l\u2019univers, c\u2019est la g\u00e9om\u00e9trie non euclidienne qui l\u2019a emport\u00e9. Il n\u2019existe pas d\u2019univers \u00e9vident pouvant servir d\u2019arbitre pour les axiomes qui se rapportent aux ensembles infinis.<\/p>\n

En r\u00e9alit\u00e9, l\u2019infini est depuis longtemps source de paradoxes \u2014 ce que l\u2019on peut attribuer \u00e0 l\u2019incapacit\u00e9 du bon sens \u00e0 appr\u00e9hender l\u2019infini. La d\u00e9monstration selon laquelle des ensembles infinis peuvent avoir des sous-ensembles propres de m\u00eame cardinalit\u00e9 nous emp\u00eache de nous rabattre sur la notion euclidienne selon laquelle le tout est plus grand que la partie. Il y a assur\u00e9ment aussi quelque chose de paradoxal dans les th\u00e9or\u00e8mes de L\u00f6wenheim-Skolem<\/a>, m\u00eame si nous ne les qualifions pas de paradoxes. Ils affirment, apr\u00e8s tout, que si un ensemble d\u2019axiomes poss\u00e8de un mod\u00e8le non d\u00e9nombrable, alors il poss\u00e8de \u00e9galement un mod\u00e8le d\u00e9nombrable, et si cela ne va pas \u00e0 l\u2019encontre de notre conception courante de l\u2019infini, je ne sais pas ce qui le ferait. Le fait que la cardinalit\u00e9 d\u00e9pende de la m\u00e9thode utilis\u00e9e pour trouver des correspondances biunivoques donne l\u2019impression que la taille d\u2019un ensemble pourrait d\u00e9pendre de l\u2019ordre dans lequel on en d\u00e9nombre les \u00e9l\u00e9ments.<\/p>\n

\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n

Figure 3.<\/strong> Un dessin de 1880 repr\u00e9sentant le \u00ab trio du paradoxe \u00bb de l’acte II de Les Pirates de Penzance<\/em>, dans lequel le Roi des Pirates et Ruth tiennent Fr\u00e9d\u00e9ric en joue tout en lui expliquant le paradoxe li\u00e9 au fait qu’il soit n\u00e9 un 29 f\u00e9vrier. R\u00e9alis\u00e9 \u00e0 la demande de la D\u2019Oyly Carte Opera Company pour la premi\u00e8re londonienne de l’op\u00e9ra. Gilbert and Sullivan Archive<\/a>.<\/h6>\n

La m\u00e9canique quantique a \u00e9galement \u00e9t\u00e9 source de paradoxes, et l\u2019on pourrait m\u00eame affirmer qu\u2019elle n\u2019est rien d\u2019autre qu\u2019une source de paradoxes. La litt\u00e9rature abondante sur la mani\u00e8re d\u2019interpr\u00e9ter le formalisme qui produit des pr\u00e9dictions correctes sugg\u00e8re qu\u2019il n\u2019existe aucun consensus sur l\u2019interpr\u00e9tation, m\u00eame si la communaut\u00e9 des physiciens est tout \u00e0 fait dispos\u00e9e \u00e0 accepter ce formalisme. Il a \u00e9t\u00e9 d\u00e9montr\u00e9 que les variables cach\u00e9es ne fonctionnent pas, et s\u2019il est n\u00e9cessaire de modifier sa logique, cela rev\u00eat en soi un caract\u00e8re paradoxal.<\/p>\n

Quand on a r\u00e9fl\u00e9chi \u00e0 certains paradoxes et qu\u2019on s\u2019est creus\u00e9 la t\u00eate pour tenter de les r\u00e9soudre, on peut \u00eatre tent\u00e9 d\u2019affirmer que certains paradoxes n\u2019ont pas n\u00e9cessairement besoin d\u2019\u00eatre r\u00e9solus. Cela semble \u00eatre le cas des koans zen, par exemple, et peut-\u00eatre aussi des \u00e9nigmes comme celle du Chapelier fou : \u00ab Pourquoi un corbeau est-il comme un bureau ? \u00bb Il n\u2019est peut-\u00eatre pas facile de se d\u00e9barrasser du soup\u00e7on tenace selon lequel au moins l\u2019un des aspects du paradoxe doit reposer sur une erreur de raisonnement. Il existe des sophismes plausibles qui ne r\u00e9v\u00e8lent pas leurs failles \u00e0 un premier examen, comme l\u2019affirmation de Kempe selon laquelle il aurait prouv\u00e9 le th\u00e9or\u00e8me des quatre couleurs en 1879, qui n\u2019a \u00e9t\u00e9 r\u00e9fut\u00e9e qu\u2019en 1890.<\/p>\n

Ce que Bagger pr\u00e9sente comme une issue, c\u2019est ce qu\u2019il appelle \u00ab l\u2019asc\u00e9tisme cognitif \u00bb [1, chap. 2]. Le terme \u00ab dissonance cognitive \u00bb a \u00e9t\u00e9 largement utilis\u00e9 pour d\u00e9crire la situation o\u00f9 l\u2019on ne parvient pas \u00e0 concilier des affirmations apparemment contradictoires. On consacre beaucoup d\u2019efforts psychologiques \u00e0 tenter de dissoudre cette dissonance, en partant du principe que celle-ci est en soi une source de tension. Ce que Bagger sugg\u00e8re, sp\u00e9cifiquement dans le domaine de la religion, c\u2019est une forme d\u2019acceptation sans pour autant avoir le sentiment que le monde s\u2019\u00e9croule n\u00e9cessairement autour de soi. Certains paradoxes portent un coup au bon sens, mais permettent d\u2019avancer en temp\u00e9rant ce dernier. Lorsque les paradoxes semblent mener \u00e0 une contradiction, on a souvent l\u2019impression, en math\u00e9matiques notamment, que ce type d\u2019acceptation conduit in\u00e9vitablement \u00e0 accepter toutes les affirmations. D’un autre c\u00f4t\u00e9, il se peut que si l’on \u00e9rige quelques barri\u00e8res dans sa logique, on puisse alors r\u00e9sister \u00e0 l’id\u00e9e selon laquelle accepter les deux c\u00f4t\u00e9s d’une conclusion paradoxale est fatal. Il existe, apr\u00e8s tout, des logiques paraconsistantes, et il n’est peut-\u00eatre pas surprenant que ce soit vers elles que m\u00e8nent les paradoxes.<\/p>\n

Sources<\/strong><\/p>\n

[1] Bagger, Matthew C. (2007) The Uses of Paradox<\/em><\/a>.<\/em> New York: Columbia University Press.<\/p>\n

[2] Bloch, William Goldbloom. (2008) The Unimaginable Mathematics of Borges\u2019 Library of Babel<\/em><\/a>.<\/em> Oxford: Oxford University Press.<\/p>\n

[3] Cave, Peter. (2009) This Sentence is False: An Introduction to Philosophical Paradoxes<\/em><\/a>.<\/em> London: Continuum.<\/p>\n

[4] Gottlieb, Anthony. (2000) The Dream of Reason: A History of Western Philosophy from the Greeks to the Renaissance<\/em><\/a>. <\/em>New York: Norton.<\/p>\n

[5] Hofstadter, Douglas. (1979) G\u00f6del, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid<\/em><\/a>.<\/em> New York: Basic Books.<\/p>\n

[6] Quine, W. V. (1966) The Ways of Paradox and Other Essays<\/em><\/a>.<\/em> New York: Random House.<\/p>\n

Thomas Drucker est actuellement pr\u00e9sident du <\/i>Philosophy of Mathematics Special Interest Group de la <\/i>Mathematical Association of America. Lors du MathFest 2025 \u00e0 Sacramento, il a \u00e9t\u00e9 l’un des organisateurs d’une session consacr\u00e9e aux paradoxes, au cours de laquelle il a \u00e9galement prononc\u00e9 un discours. Il a pris sa retraite de l’enseignement \u00e0 l’universit\u00e9 du Wisconsin\u2013Whitewater en 2021.<\/i><\/p>\n","protected":false},"author":11,"template":"","section":[64],"keyword":[523,524,487],"class_list":["post-21177","article","type-article","status-publish","hentry","section-notes-de-la-schpm","keyword-mathematiques-et-litterature","keyword-mathematiques-et-religion","keyword-philosophy-of-mathematics-fr"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Drucker"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Thomas"},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":"druckert@uww.edu"},"author-institution":{"type":"textfield","raw":"University of Wisconsin\u2013Whitewater"},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"","attachment_id":null},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"4"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"Drucker"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":"Thomas"}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/21177","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/11"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/21177\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":21180,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/21177\/revisions\/21180"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=21177"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=21177"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=21177"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}