{"id":21181,"date":"2026-04-30T10:22:47","date_gmt":"2026-04-30T14:22:47","guid":{"rendered":"https:\/\/notes.math.ca\/article\/demandez-ce-que-chatgpt-peut-faire-pour-les-mathematiques-iii\/"},"modified":"2026-04-30T10:22:53","modified_gmt":"2026-04-30T14:22:53","slug":"demandez-ce-que-chatgpt-peut-faire-pour-les-mathematiques-iii","status":"publish","type":"article","link":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/article\/demandez-ce-que-chatgpt-peut-faire-pour-les-mathematiques-iii\/","title":{"rendered":"DEMANDEZ CE QUE CHATGPT PEUT FAIRE POUR LES MATH\u00c9MATIQUES. III."},"content":{"rendered":"

(<\/em>\u00ab\u00a0Ne demandez pas ce que votre pays peut faire pour vous,
\nDemandez ce que vous pouvez faire pour votre pays.\u00a0<\/em>\u00bb)<\/em>
\nJohn F. Kennedy, 1961<\/em><\/p>\n

Comme l’illustrent les parties I et II, ChatGPT peut s’av\u00e9rer extr\u00eamement utile pour la recherche et la r\u00e9daction math\u00e9matiques. Vous devez toutefois toujours faire preuve de prudence face aux conseils qu’il vous donne. N’oubliez pas : c’est \u00e0 vous qu’il incombe de vous assurer de l’exactitude de votre article.<\/p>\n

Cet article pr\u00e9sente des exemples de situations dans lesquelles ChatGPT induit en erreur. Chaque exemple est pr\u00e9sent\u00e9 sous la forme d’une requ\u00eate, d’une r\u00e9ponse de ChatGPT et d’une br\u00e8ve analyse expliquant l’erreur et comment la d\u00e9tecter.<\/p>\n

V\u00e9rifiez tout. Que ce soit votre principe directeur : ChatGPT est un assistant, pas un oracle.<\/p>\n

1. UN LEMME ERRON\u00c9<\/p>\n

Commande.<\/strong><\/p>\n

Soit L un treillis modulaire fini. Si a est irr\u00e9ductible par jonction et que a \u2264 b \u2228 c, faut-il que a \u2264 b ou que a \u2264 c ?<\/p>\n

R\u00e9ponse de ChatGPT.<\/strong><\/p>\n

Oui.<\/p>\n

Puisque a est irr\u00e9ductible par jonction, il ne peut pas s’\u00e9crire sous la forme d’une jonction non triviale. \u00c0 partir de a \u2264 b \u2228 c, la modularit\u00e9 permet de distribuer l’in\u00e9galit\u00e9 sur la jonction. Si a \u2270 b et a \u2270 c, alors a se d\u00e9composerait en une jonction d’\u00e9l\u00e9ments plus petits, ce qui contredirait l’irr\u00e9ductibilit\u00e9 par jonction. Par cons\u00e9quent, soit a \u2264 b, soit a \u2264 c.<\/p>\n

Analyse. <\/strong><\/p>\n

Cette affirmation est fausse. Elle est vraie dans les treillis distributifs<\/em> finis, mais fausse dans les treillis modulaires en g\u00e9n\u00e9ral.<\/p>\n

Soit L = M3. Soit a l’un des trois atomes, et soit b et c les deux autres atomes. Alors<\/p>\n

a \u2264 b \u2228 c = 1,<\/p>\n

mais<\/p>\n

a \u2270 b et a \u2270 c.<\/p>\n

ChatGPT remplace silencieusement la distributivit\u00e9 par la modularit\u00e9. L’argument se lit correctement mais prouve un th\u00e9or\u00e8me diff\u00e9rent.<\/p>\n

2. UN DIAGRAMME DONT LA G\u00c9OM\u00c9TRIE MENT<\/p>\n

Commande.<\/strong><\/p>\n

Dessine un diagramme d’un ensemble ordonn\u00e9 avec ses \u00e9l\u00e9ments<\/p>\n

\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n

o\u00f9 a et b ne sont pas comparables, et c et d ne sont pas comparables. Utilise une disposition sym\u00e9trique.<\/p>\n

R\u00e9ponse de ChatGPT.<\/strong><\/p>\n

Voici le code TikZ correspondant au diagramme demand\u00e9 :<\/p>\n

\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\"\"\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/p>\n

Analyse.<\/strong> D’un point de vue formel, toutes les ar\u00eates requises sont pr\u00e9sentes et aucune relation de recouvrement ne manque. Le code se compile et le diagramme semble clair et sym\u00e9trique.<\/p>\n

Le probl\u00e8me est d’ordre g\u00e9om\u00e9trique. Comme c est plac\u00e9 au-dessus et \u00e0 gauche de b, et d au-dessus et \u00e0 droite de a, l’image sugg\u00e8re<\/p>\n

b \u227a d et a \u227a c,<\/p>\n

alors qu’aucune de ces relations n’est voulue. L’\u0153il lit naturellement les cha\u00eenes<\/p>\n

0 \u227a a \u227a c \u227a 1 et 0 \u227a b \u227a d \u227a 1,<\/p>\n

ce qui contredit les incomparabilit\u00e9s voulues a \u2225 c et b \u2225 d.<\/p>\n

3.UNE INSTRUCTION LaTeX<\/span> QUI G\u00c9N\u00c8RE UNE ERREUR<\/p>\n

Commande. <\/strong><\/p>\n

La compilation s’arr\u00eate avec l’erreur Environment example undefined. Comment puis-je r\u00e9soudre ce probl\u00e8me ?<\/p>\n

R\u00e9ponse de ChatGPT.<\/strong><\/p>\n

Ajoutez usepackage{example} dans le pr\u00e9ambule pour d\u00e9finir l’environnement.<\/p>\n

Analyse.<\/strong> Il n’existe pas de package standard d\u00e9finissant un environnement example. La solution propos\u00e9e ne r\u00e9sout pas l’erreur.<\/p>\n

La solution consiste \u00e0 d\u00e9finir explicitement l’environnement ou \u00e0 le remplacer par un environnement existant de type th\u00e9or\u00e8me. Le message d’erreur lui-m\u00eame identifie d\u00e9j\u00e0 le probl\u00e8me.<\/p>\n

4. UN TH\u00c9OR\u00c8ME CORRECT ACCOMPAGN\u00c9 D’UNE PREUVE INCORRECTE<\/p>\n

Commande.<\/strong><\/p>\n

Soit L un treillis fini. Supposons que tout \u00e9l\u00e9ment irr\u00e9ductible par jonction de L soit premier par jonction.[1]<\/a> D\u00e9montrez que L est distributif.<\/a><\/p>\n

R\u00e9ponse de ChatGPT.<\/strong><\/p>\n

Soit L un treillis fini dans lequel tout \u00e9l\u00e9ment irr\u00e9ductible par jonction est premier par jonction. Comme L est fini, tout \u00e9l\u00e9ment peut s’\u00e9crire sous la forme d’une jonction d’\u00e9l\u00e9ments irr\u00e9ductibles par jonction. Soient x, y, z \u2208 L.<\/p>\n

Soit x = a1 \u2228 \u00b7 \u00b7 \u00b7 \u2228 an, o\u00f9 chaque ai est irr\u00e9ductible par jonction. Alors<\/p>\n

x \u2227 (y \u2228 z) = (a1 \u2228 \u00b7 \u00b7 \u00b7 \u2228 an) \u2227 (y \u2228 z).<\/p>\n

Si ai \u2264 y \u2228 z, alors, puisque ai est premier par jonction, on a ai \u2264 y ou ai \u2264 z. Ainsi<\/p>\n

x \u2227 (y \u2228 z) = (x \u2227 y) \u2228 (x \u2227 z),<\/p>\n

et L est distributif.<\/p>\n

Analyse.<\/strong> Le th\u00e9or\u00e8me est correct. La preuve ne l’est pas.<\/p>\n

L’erreur cruciale se trouve dans la premi\u00e8re \u00e9quation pr\u00e9sent\u00e9e. Le raisonnement \u00a0suppose implicitement que<\/p>\n

(a1 \u2228 \u00b7 \u00b7 \u00b7 \u2228 an) \u2227 t = (a1 \u2227 t) \u2228 \u00b7 \u00b7 \u00b7 \u2228 (an \u2227 t),<\/p>\n

ce qui constitue d\u00e9j\u00e0 une forme de distributivit\u00e9. La d\u00e9monstration utilise donc la conclusion pour se justifier elle-m\u00eame.<\/p>\n

La primalit\u00e9 des jonctions ne s’applique qu’aux in\u00e9galit\u00e9s de la forme a \u2264 x \u2228 y. Elle ne fournit aucune justification pour distribuer les intersections sur les jonctions. Le raisonnement confond une propri\u00e9t\u00e9 d’ordre des \u00e9l\u00e9ments individuels avec une identit\u00e9 alg\u00e9brique du treillis.<\/p>\n

Une preuve correcte proc\u00e8de en analysant des repr\u00e9sentations de jonctions non redondantes et en les comparant \u00e9l\u00e9ment par \u00e9l\u00e9ment, plut\u00f4t qu’en manipulant des identit\u00e9s de treillis.<\/p>\n

Cette erreur est dangereuse pour plusieurs raisons :<\/p>\n