{"id":5811,"date":"2020-07-23T15:12:53","date_gmt":"2020-07-23T19:12:53","guid":{"rendered":"https:\/\/notes.math.ca\/article\/richard-guy-and-number-theory\/"},"modified":"2020-09-16T14:29:48","modified_gmt":"2020-09-16T18:29:48","slug":"richard-guy-and-number-theory","status":"publish","type":"article","link":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/article\/richard-guy-and-number-theory\/","title":{"rendered":"Richard Guy et la th\u00e9orie des nombres"},"content":{"rendered":"\t\t
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M\u00eame comme jeune enfant, Richard Guy \u00e9tait fascin\u00e9 par les nombres. \u00c0 l\u2019\u00e2ge de 17 ans, il acheta une copie du volume encyclop\u00e9dique de Dickson History of the Theory of Numbers<\/em> [Dickson 66] et il n\u2019a pas pu r\u00e9sister \u00e0 l\u2019appel. Le co\u00fbt \u00e0 l\u2019\u00e9poque \u00e9tait de 6 guin\u00e9es, un gros montant d\u2019argent\u2014plus que ce qu\u2019il a d\u00e9bours\u00e9 pour son dipl\u00f4me de ma\u00eetrise \u00e0 Cambridge. L\u2019Histoire de Dickson a continu\u00e9 \u00e0 avoir une grande influence sur Richard durant toute sa vie acad\u00e9mique. Il publia son premier article important en th\u00e9orie des nombres en 1958 [Guy 58<\/a>]. C\u2019est peut-\u00eatre discutable, mais aucune \u0153uvre de Richard ne fait preuve de son amour des nombres plus que son merveilleux Book of Numbers<\/em>, \u00e9crit conjointement avec John H. Conway [Conway and Guy 96<\/a>]. Le volume substantiel sur Richard faisant \u00e9tat de ses publications en Th\u00e9orie des nombres fait mention d\u2019environ 50 coauteurs, dont Elwin Berlekamp, John Conway, Paul Erd\u00f6s, Derrick Lehmer, Yuri Matiyasevich, Alexander Oppenheim, John Selfridge et Daniel Shanks. Son int\u00e9r\u00eat pr\u00e9dominant en th\u00e9orie des nombres \u00e9tait les suites d\u2019entiers de toute forme et de tout contenu, incluant leur apparition en combinatoire, en g\u00e9om\u00e9trie et dans des probl\u00e8mes Diophantiens. Les contributions de Richard dans le domaine sont trop nombreuses pour nous permettre de faire ici un compte-rendu complet; c\u2019est pourquoi nous exhiberons seulement des exemples de ses travaux, avec une attention sp\u00e9ciale pour les recherches qu\u2019il a effectu\u00e9es depuis l\u2019\u00e2ge de 90 ans.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Le premier article th\u00e9orique de Richard, paru en 1958<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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\n\t\t\t\tC\u2019est peut-\u00eatre discutable, mais aucune \u0153uvre de Richard ne fait preuve de son amour des nombres plus que son merveilleux Book of Numbers, \u00e9crit conjointement avec John H. Conway\t\t\t<\/p>\n\t\t\t\t\t\t\t

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Une passion toute particuli\u00e8re de Richard pendant toute sa vie, fut les suites aliquotes<\/em>. Elles consistent \u00e0 it\u00e9rer n<\/em>, s<\/em>(n<\/em>), s<\/em>(s<\/em>(n<\/em>)), . . . , s<\/em>(k<\/em>)<\/sup>(n<\/em>) via la somme des diviseurs propres (aliquotes) de la fonction s<\/em>(n<\/em>) = \u03c3<\/em>(n<\/em>) \u2212 n<\/em>, lorsque n <\/i>est un entier positif. Catalan [Catalan 88<\/a>], corrig\u00e9 par la suite par Dickson [Dickson 13<\/a>], a conjectur\u00e9 que toutes les suites aliquotes ou bien s\u2019arr\u00eatent ou bien deviennent p\u00e9riodiques, et ainsi sont born\u00e9es. Le plus petit entier pour lequel cette conjecture n\u2019est pas prouv\u00e9e ou contredite est n<\/em> = 276; en date de la r\u00e9daction de cet article, sa suite aliquote contient 2139 termes et le 2140e terme est un nombre compos\u00e9 et connu pour poss\u00e9der un diviseur de 213 chiffres d\u00e9cimaux. Dans une s\u00e9rie de rapports publi\u00e9s dans les ann\u00e9es 1970, Richard et John Selfridge ont trouv\u00e9 que sous certaines conditions les suites aliquotes peuvent \u00eatre tr\u00e8s longues. Ceci les incita \u00e0 proposer en 1975 une contre-conjecture [Guy and Selfridge 75<\/a>] \u00e0 l\u2019effet que plusieurs de ces suites, peut-\u00eatre presque toutes, divergent pour tout entier pair n<\/em>. La question de savoir quelle conjecture est correcte est encore sans r\u00e9ponse.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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Richard avec ses coll\u00e8gues et ses \u00e9tudiant.e.s \u00e0 Math Lounge de l'Universit\u00e9 de Calgary, 2011<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Richard \u00e9tait vivement int\u00e9ress\u00e9 \u00e0 \u00e9vang\u00e9liser sa conjecture et a continu\u00e9 \u00e0 y travailler jusqu\u2019\u00e0 la fin. Un r\u00e9sultat de Bosma et Kane [Bosma and Kane 12<\/a>] montre que la moyenne g\u00e9om\u00e9trique (sur tous les n<\/em>) de l\u2019amplification<\/i> s(2n<\/em>)\/2n<\/em> prend une valeur plus petite que 1, ce qui nous incite \u00e0 croire que les termes d\u2019une suite aliquote ont tendance \u00e0 d\u00e9cro\u00eetre en moyenne. Richard a cru que cette d\u00e9couverte ne capture pas la vraie essence des suites aliquotes parce que cela ne prend pas en compte la fr\u00e9quence \u00e9ventuelle d\u2019un entier comme valeur s(2n<\/em>), de sorte que cela ne contribue pas au d\u00e9compte dans le cas des guides<\/em> et des conducteurs<\/em>, deux objets d\u00e9crits dans l\u2019article de Guy et Selfridge [Guy and Selfridge 75<\/a>]. Ce sont des diviseurs de s<\/em>(k<\/em>)<\/sup>(n<\/em>) qui persistent \u00e0 r\u00e9appara\u00eetre d\u2019un terme \u00e0 l\u2019autre avec une forte probabilit\u00e9 et qui la plupart du temps font augmenter la longueur de la suite. En fait, Pomerance [Pomerance 18<\/a>] a montr\u00e9 que la moyenne g\u00e9om\u00e9trique des s<\/em>(n<\/em>)\/n<\/em> est plus petite que 1 pour n <\/i>\u2261 2 (mod 4), et d\u00e9passe 1 pour n<\/em> \u2261 0 (mod 4).<\/p>

Car d\u2019autres r\u00e9sultats analytiques semblaient hors de port\u00e9 pour le moment, Richard fit le choix de chercher des \u00e9vidences num\u00e9riques supportant son point de vue. Mike Jacobson nous raconte comment Richard commen\u00e7a subtilement \u00e0 le recruter pour le joindre \u00e0 sa cause, en \u00e9crivant d\u2019abord un message \u00e9lectronique dont le sujet avait une saveur cryptique: \u00a0\u201c Would you like to factor a number? <\/em>\u201d La factorisation du dit nombre \u00e9tait obtenue, et lorsque Mike s\u2019enquit de quoi Richard en retournait, ce dernier offrit avec un grand plaisir une explication d\u00e9butant de la fa\u00e7on suivante (traduction libre):<\/p>

Je suis en train de calculer une suite aliquote. C\u2019est plut\u00f4t une cause perdue d\u2019avance, mais je suis devenu intoxiqu\u00e9, et cela remonte bien avant l\u2019\u00e9poque o\u00f9 un jeune \u00e9tudiant brillant sous-gradu\u00e9 portant le nom de Jeff Lagarias me fut pr\u00e9sent\u00e9 par Danny Kleitman il y a plusieurs ann\u00e9es \u00e0 MIT. Selfridge et moi-m\u00eame avions investi des milliers d\u2019heures sur deux Olivettis, pendant que Mike Williams utilisait une machine plus sophistiqu\u00e9e ici au sous-sol de cet \u00e9difice [the Mathematical Sciences building \u00e0 l\u2019Universit\u00e9 de Calgary], \u00e0 l\u2019\u00e9poque o\u00f9 il n\u2019y avait que 4 \u00e9tages.<\/p><\/blockquote>

Jacobson d\u00e9crit comment \u00e0 n\u2019importe quel moment de la journ\u00e9e, l’ordinateur du bureau de Richard montrait au moins une fen\u00eatre ouverte qui calculait activement les termes d\u2019une suite aliquote et qui effectuait les factorisations requises. \u00c0 l\u2019\u00e9poque de cette requ\u00eate aupr\u00e8s de Jacobson, Richard utilisait Pari\/GP pour it\u00e9rer manuellement les termes de la suite aliquote pour n<\/em> = 99225 parce que, toujours selon ses mots, \u201c le plus petit nombre impair qui donne des signes de convergence vers l\u2019infini, c\u2019est 99225 \u201d. Il a \u00e9tendu cette suite bien au-del\u00e0 de 700 termes et avait fr\u00e9quemment besoin de factoriser des entiers de plus de 100 chiffres d\u00e9cimaux. Jacobson a \u00e9ventuellement automatis\u00e9 le processus de factorisation pour Richard et l\u2019aida \u00e0 \u00e9tendre la suite \u00e0 plus de 3400 termes, ce qui donna naissance \u00e0 un projet plus ambitieux. En 1976, Richard avait \u00e9crit un survol faisant \u00e9tat des connaissances de l\u2019\u00e9poque sur les m\u00e9thodes de factorisation [Guy 76<\/a>], un survol qui devint tr\u00e8s populaire avec la venue du cryptosyst\u00e8me RSA en 1978. Suite \u00e0 des calculs pr\u00e9alables entrepris par l\u2019ancien \u00e9tudiant \u00e0 la ma\u00eetrise Stan Devitt de Richard en 1976 [Devitt 76<\/a>], qui assur\u00e9ment furent inspir\u00e9s par le survol de Richard, il s\u2019av\u00e8re que Richard, Jacobson et les \u00e9tudiants de Calgary, Kevin Chum et Anton Mosunov, perform\u00e8rent des calculs pouss\u00e9s sur la moyenne g\u00e9om\u00e9trique de s<\/em>(n<\/em>)\/n<\/em> en mod\u00e9lisant une suite aliquote comme une cha\u00eene de Markov [Chum et al. 18<\/a>]. Pour le plus grand plaisir de Richard, gr\u00e2ce \u00e0 une flopp\u00e9e d\u2019autres r\u00e9sultats num\u00e9riques sur les suites aliquotes, ces r\u00e9sultats fournissent une \u00e9vidence empirique que la moyenne g\u00e9om\u00e9trique des s<\/em>(n<\/em>)\/n<\/em> d\u00e9passe 1, comme Richard l\u2019esp\u00e9rait et le pr\u00e9disait. Jacobson et ses \u00e9tudiants poursuivent leurs travaux sur la conjecture de Guy-Selfridge.<\/p>

Richard aimait trouver des arrangements de nombres assujettis \u00e0 certaines contraintes sur leurs relations avec leurs voisins. Il \u00e9tait intrigu\u00e9 par la simplicit\u00e9 de telles questions et par l\u2019immense difficult\u00e9, ce qui \u00e9tait fr\u00e9quemment le cas, de prouver l\u2019existence de tels arrangements ou m\u00eame de les d\u00e9nombrer. Richard \u00e9tait convaincu que pour tout n<\/em> suffisamment grand, il existe des permutations des entiers 1, 2, . . . , n<\/em> telles que la somme de deux termes cons\u00e9cutifs est un carr\u00e9, un cube, un nombre triangulaire ou pentagonal ou un polyn\u00f4me \u201c raisonnable \u201d en n<\/em>. Le cas d\u2019\u00eatre un carr\u00e9 n\u2019a \u00e9t\u00e9 r\u00e9solu que r\u00e9cemment par R. Gerbitz [Gerbitz 2018<\/a>] qui a \u00e9tabli une r\u00e9ponse affirmative pour tout n<\/em> \u2265 25 (n<\/em> \u2265 32 pour des arrangements circulaires). Tous les autres cas sont encore des probl\u00e8mes ouverts. Dans un merveilleux article dont le titre est \u201cFibonacci plays Billiards\u201d [Berlekamp and Guy 03<\/a>], Elwin Berlekamp et Richard ont donn\u00e9 une caract\u00e9risation compl\u00e8te des valeurs de n<\/em> qui admettent des permutations des n<\/em> premiers entiers positifs telles que la somme de deux voisins quelconques est un nombre de Fibonacci ou un nombre de Lucas. Le titre de l\u2019article est n\u00e9 de la m\u00e9thodologie qui a \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9e et qui facilite la recherche d\u2019arrangements de nombres en pla\u00e7ant les nombres 1, 2, . . . , n<\/em> sur le p\u00e9rim\u00e8tre d\u2019une table de billiard et en consid\u00e9rant le parcours des balles de billiard lorsqu\u2019elles rebondissent sur les rebords coussin\u00e9s avec un angle de 45 degr\u00e9s.<\/p>

Pendant l\u2019\u00e9t\u00e9 de 2017, le centenaire Richard, avec l\u2019aide de sa coll\u00e8gue de Calgary, Renate Scheidler, recruta Ethan White, un \u00e9tudiant sous-gradu\u00e9 \u00e0 l\u2019\u00e9poque, pour consid\u00e9rer des probl\u00e8mes analogues o\u00f9 les sommes sont remplac\u00e9es par des diff\u00e9rences en valeurs absolues. \u00c0 un moment donn\u00e9, ils ont r\u00e9solu la question des arrangements circulaires o\u00f9 les diff\u00e9rences en valeurs absolues de deux termes adjacents prennent l\u2019une des deux valeurs de l\u2019ensemble {a<\/em>, b<\/em>}. Aid\u00e9s par les calculs de White, ils ont utilis\u00e9 le \u201cmur des nombres\u201d de Richard [Conway and Guy 96, pp. 85-89<\/a>] pour essayer de d\u00e9couvrir des r\u00e9currences lin\u00e9aires pour les d\u00e9comptes Na,b<\/sub><\/em>(n<\/i>) de tels arrangements de longueur n<\/em>. Ils ont trouv\u00e9 des relations explicites pour les paires (a<\/em>, b<\/em>) = (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 4) et ont \u00e9ventuellement employ\u00e9 la m\u00e9thode \u201c graph theoretic transfer matrix \u201d pour prouver que Na,b<\/sub><\/em>(n<\/em>) satisfait une relation de r\u00e9currence lin\u00e9aire lorsque de tels arrangements existent pour une paire donn\u00e9e (a<\/em>, b<\/em>) [White et al. 20<\/a>].<\/p>

Richard s\u2019int\u00e9ressait aussi aux probl\u00e8mes Diophantiens, particuli\u00e8rement \u00e0 la question de savoir si des entiers peuvent \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9s par certains types d\u2019\u00e9quations. Une \u00e9quation Diophantienne<\/i> est une \u00e9quation pour laquelle les solutions sont restreintes aux entiers ou aux nombres rationnels. Par exemple, (x<\/em>, y<\/em>) = (8, 3) est une solution de l\u2019\u00e9quation Diophantienne x<\/em>2<\/sup> \u2212 7y<\/em>2<\/sup> = 1. Richard d\u00e9marra dans ce domaine une collaboration de longue dur\u00e9e avec Andrew Bremner \u00e0 la fin des ann\u00e9es 1980 qui dura plus de 15 ans. En 1993, Bremner, Richard et Richard Nowakowski ont r\u00e9solu la question, pos\u00e9e pour la premi\u00e8re fois par Melvyn J. Knight, de d\u00e9terminer les entiers n<\/em> qui peuvent \u00eatre repr\u00e9sent\u00e9s sous la forme<\/p>

n <\/em>= (x <\/em>+ y <\/em>+ z<\/em>)(1\/x <\/em>+ 1\/y <\/em>+ 1\/z<\/em>),<\/em><\/p>

avec des entiers x<\/em>, y<\/em>, z<\/em> [Bremner et al. 93<\/a>]. Par exemple, pour n<\/em> = 62, on a la solution x<\/em> = 5075, y<\/em> = 128050, z<\/em> = 160602. Ils ont trouv\u00e9 que cette question se ram\u00e8ne au probl\u00e8me de trouver les points entiers d\u2019une certaine courbe elliptique dont la 2-torsion est rationnelle et ils ont calcul\u00e9 le rang de Mordell-Weil de cette courbe pour tout n<\/em> avec |n<\/em>| \u2264 1000.<\/p>

Les suites d\u2019entiers dans le contexte de la g\u00e9om\u00e9trie attirait aussi Richard. Un exemple d\u2019une question avec cette saveur est le probl\u00e8me de paver un rectangle 4 \u00d7 (n<\/em> \u2212 1) avec des dominos ou des tuiles 1 \u00d7 2. Richard savait que la suite (An<\/sub><\/em>)n<\/em>\u22650<\/sub> repr\u00e9sentant le nombre de ces pavages distincts satisfait une r\u00e9currence lin\u00e9aire d\u2019ordre 4:<\/p>

A<\/em>k<\/sub><\/em>= A<\/em>k\u2212<\/sub><\/em>1<\/sub> + 5A<\/em>k\u2212<\/sub><\/em>2<\/sub> + A<\/em>k\u2212<\/sub><\/em>3<\/sub> \u2212 <\/em>A<\/em>k\u2212<\/sub><\/em>4<\/sub><\/p>

avec A<\/em>0<\/sub> = 0, A<\/em>1<\/sub>\u00a0= 1, A<\/em>2<\/sub>\u00a0= 1, A<\/em>3<\/sub>\u00a0= 5, A<\/em>4<\/sub>\u00a0= 11, A<\/em>5<\/sub>\u00a0= 36, etc. Il nota que la suite (An<\/sub><\/em>)n<\/em>\u22650<\/sub> semblait \u00eatre une suite de divisibilit\u00e9s: An<\/sub><\/em> divise Am<\/sub><\/em> chaque fois que n<\/em> divise m<\/em>. Cette observation engendra une collaboration avec Hugh Williams et son ancien \u00e9tudiant au doctorat Eric Roettger qui produisit une s\u00e9rie d\u2019articles [Roettger et al. 13<\/a>, Roettger et al. 15<\/a>, Williams and Guy 15<\/a>], culminant avec une solution du probl\u00e8me ouvert de Lucas consistant \u00e0 g\u00e9n\u00e9raliser les suites de Lucas au niveau des r\u00e9currences lin\u00e9aires d\u2019ordre sup\u00e9rieur.<\/p>

Sur plusieurs dizaines d\u2019ann\u00e9es, quasi-simultan\u00e9ment \u00e0 la conception et la r\u00e9daction du c\u00e9l\u00e8bre Triangle book<\/em> de John Conway [Conway and Sigur 15<\/a>], Richard compila et prouva une quantit\u00e9 de r\u00e9sultats dans une monographie intitul\u00e9 simplement The Triangle<\/em> [Guy 20<\/a>]. En plus d\u2019une riche quantit\u00e9 de propri\u00e9t\u00e9s des triangles d\u2019un point de vue de la g\u00e9om\u00e9trie et de la th\u00e9orie des nombres, ce travail de 240 pages contient une collection de figures exquises toutes m\u00e9ticuleusement con\u00e7ues de main de ma\u00eetre gr\u00e2ce au talent de sorcier de Richard et \u00e0 sa ma\u00eetrise de LaTeX. Richard \u00e9tait en particulier captiv\u00e9 par la construction expliqu\u00e9e et joliment illustr\u00e9e aux page 43 et suivante [Guy 20<\/a>]. \u00c0 partir d\u2019un triangle ABC<\/em>, prenez n\u2019importe quel point P<\/em> sur son cercle circonscrit et consid\u00e9rez sa r\u00e9flexion sur le c\u00f4t\u00e9 BC<\/em> pour obtenir un point A<\/i>‘ qui permet de d\u00e9finir un nouveau triangle A’BC<\/em>. Intersectez la perpendiculaire sur le c\u00f4t\u00e9 BC<\/em> avec le cercle circonscrit de ce nouveau triangle pour obtenir un point P’<\/em>. De fa\u00e7on semblable, prenez la r\u00e9flexion de P<\/em> sur les c\u00f4t\u00e9s AB<\/em> et BC<\/em> pour obtenir les triangles AB’C<\/em> and ABC’<\/em> et les points Q’<\/em>, R’<\/em>. Les trois points P’<\/em>, Q’<\/em>, R’<\/em> sont sur une droite de Steiner<\/em> parall\u00e8le \u00e0 la droite de Wallace<\/em> de P<\/em> \u00e0 une distance de P<\/em> deux fois plus grande. R\u00e9p\u00e9tez tout le processus avec les points P’<\/em>, Q’<\/em>, R’<\/em> pour g\u00e9n\u00e9rer 9 points suppl\u00e9mentaires, etc. Richard compare la construction permettant de calculer les multiples scalaires d\u2019un point fixe donn\u00e9 d\u2019une courbe elliptique et il \u00e9tait curieux d\u2019en conna\u00eetre plus sur le comportement de cette tri-suite (tri-s\u00e9quence<\/em>), en particulier sur la possibilit\u00e9 de p\u00e9riodicit\u00e9. Richard accorde \u00e0 Andrew Bremner le cr\u00e9dit de la d\u00e9couverte de quatre 3-cycles et par la suite \u00e0 Alex Fink, dont il \u00e9tait le mentor pendant ses ann\u00e9es comme \u00e9tudiant sous-gradu\u00e9 \u00e0 Calgary, pour avoir observ\u00e9 que chaque point P<\/em> de d\u00e9part m\u00e8ne \u00e0 trois 6-cycles.<\/p>

Richard avait un don ph\u00e9nom\u00e9nal gour reconna\u00eetre les motifs et une habilet\u00e9 \u00e9trange pour s\u00e9parer le bon grain d\u2019une belle structure de th\u00e9orie des nombres de l\u2019ivraie des similarit\u00e9s accidentelles. Dans le cours de ses investigations sur diff\u00e9rentes suites, Richard a d\u00e9couvert ce qu\u2019il a appel\u00e9 avec beaucoup d\u2019esprit \u201c La loi forte des petits nombres<\/em> \u201d (\u201cThe Strong Law of Small Numbers<\/em>\u201d). Dans un article tr\u00e8s engag\u00e9 et ayant un grand impact, portant le m\u00eame titre [Guy 88<\/a>], il commenta 35 exemples de motifs (patterns) qui semblent appara\u00eetre quand on consid\u00e8re de petites valeurs de n<\/em>. Certains fonctionnent, mais plusieurs ne tiennent pas la route. Il conclua qu\u2019il n\u2019y a pas suffisamment de petits nombres pour r\u00e9pondre \u00e0 de nombreuses demandes qui en \u00e9taient faites. Il donna une suite \u00e0 cet article deux ans plus tard avec sa seconde loi [Guy 90<\/a>], laquelle affirme \u201c Quand deux nombres semblent \u00e9gaux, ce n\u2019est pas n\u00e9cessairement le cas.<\/em> \u201d (\u201c When two numbers look equal it ain\u2019t necessarily so<\/em> \u201d. On devrait obliger tout \u00e9tudiant gradu\u00e9 en math\u00e9matiques \u00e0 lire ces deux articles.<\/p>

L\u2019une des contributions de Richard en math\u00e9matiques appel\u00e9es \u00e0 d\u00e9fier le temps est sa monographie Unsolved Problems in Number Theory<\/em> [Guy 04<\/a>]. C\u2019est une merveilleuse compilation de probl\u00e8mes en Th\u00e9orie des nombres avec des commentaires qui en est \u00e0 sa troisi\u00e8me \u00e9dition et qui nous contamine (positivement au sens figur\u00e9). Ce volume remarquable a stimul\u00e9 des th\u00e9oriciens des nombres en puissance, parmi lesques plusieurs sont devenus des \u00e9toiles et continue d\u2019\u00eatre une source d\u2019inspiration pour les \u00e9rudits du domaine.<\/p>

Esquisses \u00a0biographiques<\/strong><\/span><\/p>

Michael J. Jacobson, Jr. est professeur au d\u00e9partement d\u2019informatique \u00e0 l\u2019Universit\u00e9 de Calgary, effectuant de la recherche en cryptographie et en th\u00e9orie calculatoire des nombres avec une emphase particuli\u00e8re sur les algorithmes dans les corps globaux.<\/em><\/span><\/p>

Hugh C. Williams est professeur \u00e9m\u00e9rite au d\u00e9partement de math\u00e9matiqes et de statistique et il a d\u00e9tenu la chaire iCORE en th\u00e9orie algorithmique des nombres et en cryptographie \u00e0 l\u2019Universit\u00e9 de Calgary. Il est aussi professeur \u00e9m\u00e9rite au d\u00e9partment d\u2019informatique \u00e0 l\u2019Universit\u00e9 du Manitoba. Ses int\u00e9r\u00eats en recherche incluent la th\u00e9orie calculatoire des nombres, la cryptographie, l\u2019histoire des math\u00e9matiques et les calculs sur l\u2019ordinateur.<\/em><\/span><\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t

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R\u00e9f\u00e9rences<\/strong><\/h4>

[Berlekamp and Guy 03] E. Berlekamp and R. K. Guy, Fibonacci plays Billiards, arXiv:2002.03705 [math.HO].<\/p>

[Bosma and Kane 12] W. Bosma and B. Kane, The aliquot constant, Quart. J. Math<\/i>. 63 (2012), no. 2, 309-323.<\/p>

[Bremner et al 93] A. Bremner, R. K. Guy and R. J. Nowakowski, Which integers are representable as the product of the sum of three integers with the sum of their reciprocals? Math. Comp<\/i>. 61<\/strong> (1993), no. 203, 117-130.<\/p>

[Catalan 88] E. Catalan, Propositions et questions diverses, Bull. Soc. Math. France<\/i> 16<\/strong> (1888), 128-129.<\/p>

[Chum et. al. 18] K. Chum, R. K. Guy, M. J. Jacobson, Jr. and A. S. Mosunov, Numerical and Statistical Analysis of Aliquot Sequences, Experim. Math<\/i>., DOI:10.1080\/10586458.2018.1477077 (2018)<\/p>

[Conway and Guy 96] J. H. Conway and R. K. Guy, The Book of Numbers<\/i>, Springer, 1996.<\/p>

[Conway and Sigur 15] J. H. Conway and S. Sigur, The Triangle Book<\/i>, A K Peters 2015.<\/p>

[Devitt 76] J. S. Devitt, Aliquot Sequences, Master’s thesis, University of Calgary 1976.<\/p>

[Dickson 13] L. E. Dickson, Theorems and Tables on the Sums of Divisors of a Number, Quart. J. Math<\/i>. 44<\/strong> (1913), 264-296.<\/p>

[Dickson 66] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers<\/i>, Volumes I-III, Reprintings of the originals, Chelsea Publishing Co., New York 1966.<\/p>

[Guy 58] R. K. Guy, Two theorems on partitions. Math. Gaz<\/i>. 42<\/strong> (1958), 84-86.<\/p>

[Guy 76] R. K. Guy, How to factor a number. Proc. Fifth Manitoba Conference on Numerical Mathematics (Univ. Manitoba, Winnipeg, Man., 1975), pp. 49-89. Congressus Numerantium<\/i> XVI<\/b>, Utilitas Math. Publ., Winnipeg, Man., 1976.<\/p>

[Guy 88] R. K. Guy, The strong law of small numbers, Amer. Math. Monthly<\/i> 95<\/strong> (1988), no. 8, 697-712.<\/p>

[Guy 90] R. K. Guy, The second strong law of small numbers. Math. Mag<\/i>. 63<\/strong> (1990), no. 1, 3-20.<\/p>

[Guy 04] R. K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory,<\/i> third ed., Problem Books in Mathematics. Springer, New York, 2004.<\/p>

[Guy 20] R. K. Guy, The Triangle, arXiv:1910.03379v1 [math.HO].<\/p>

[Guy and Selfridge 75] R. K. Guy and J. L. Selfridge, What drives an aliquot sequence? Math. Comp<\/i>. 29<\/strong> (1975), no. 129, 101-107.<\/p>

[Pomerance 18] C. Pomerance, The first function and its iterates, In: Connections in Discrete Mathematics: A Celebration of the Work of Ron Graham<\/i> (S. Butler, J. Cooper, G. Hurlbert, eds), pp. 125-138, Cambridge University Press, 2018.<\/p>

[Roettger et al 13] E. L. Roettger, H. C. Williams and R. K. Guy, Some extensions of the Lucas functions, in: Number theory and related fields<\/i>, 271-311, Springer Proc. Math. Stat., 43, Springer, New York, 2013.<\/p>

[Williams and Guy 15] H. C. Williams and R. K. Guy, Odd and even linear divisibility sequences of order 4, Integers <\/i>15<\/strong> (2015), Paper No. A33.<\/p>

[Roettger et al 15] E. L.\u00a0 Roettger, H. C. Williams and R. K. Guy, Some primality tests that eluded Lucas. Des. Codes Cryptogr<\/i>. 77 (2015), no. 2-3, 515-539.<\/p>

[White et al 20] E. White, R. K. Guy and R. Scheidler, Difference Necklaces, arXiv:2006.15250 [math.CO].<\/p>

[Yoshihara 04] N. Yoshigahara, Puzzles 101: A Puzzlemaster’s\u00a0 Challenge<\/i>, A K Peters, Natick MA, 2004.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"author":6,"template":"","section":[227],"keyword":[],"class_list":["post-5811","article","type-article","status-publish","hentry","section-richard-kenneth-guy-1916-2020"],"toolset-meta":{"author-4-info":{"author-4-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-4-email":{"type":"email","raw":""},"author-4-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-3-info":{"author-3-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-3-email":{"type":"email","raw":""},"author-3-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-2-info":{"author-2-surname":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-2-email":{"type":"email","raw":""},"author-2-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"author-info":{"author-surname":{"type":"textfield","raw":"M. J. Jacobson Jr., R. Scheidler, H. C. Williams"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":""},"author-honorific":{"type":"textfield","raw":""},"author-email":{"type":"email","raw":""},"author-institution":{"type":"textfield","raw":""},"author-cms-role":{"type":"textfield","raw":""}},"unknown":{"downloadable-pdf":{"type":"file","raw":"https:\/\/notes.math.ca\/wp-content\/uploads\/2020\/07\/Richard-Guy-et-la-th\u00e9orie-des-nombres-Notes-de-la-SMC-1.pdf","attachment_id":6169},"article-toc-weight":{"type":"numeric","raw":"66"},"author-surname":{"type":"textfield","raw":"M. J. Jacobson Jr., R. Scheidler, H. C. Williams"},"author-given-names":{"type":"textfield","raw":""}}},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/5811","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article"}],"about":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/types\/article"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/users\/6"}],"version-history":[{"count":52,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/5811\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6573,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/article\/5811\/revisions\/6573"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=5811"}],"wp:term":[{"taxonomy":"section","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/section?post=5811"},{"taxonomy":"keyword","embeddable":true,"href":"https:\/\/notes.math.ca\/fr\/wp-json\/wp\/v2\/keyword?post=5811"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}