Tout simplement pas évident
Vous connaissez sans doute l’histoire de Sylvanus Thompson selon laquelle Lord Kelvin aurait dit à sa classe de physique que Liouville était un mathématicien, à savoir un mathématicien pour qui katex is not defined était aussi évident que 2+2 l’était pour eux. Si vous connaissez également l’astuce diabolique avec les coordonnées polaires par laquelle cette intégrale est habituellement évaluée, vous verrez que Kelvin utilisait clairement « évident » dans un sens a posteriori : c’est un fait qui devient évident après un exposé et un peu de réflexion. J’imagine que même le grand Liouville n’aurait pas « vu » ce problème ! Mais c’est peut-être l’usage que Kelvin fait de ce mot qui est le plus intéressant, car il s’applique davantage à l’interaction d’un mathématicien avec le théorème en question.
Il y a quelques semaines, j’ai assisté à un colloque très intéressant. L’orateur, un membre de notre département, avait besoin du théorème de la réciprocité quadratique pour quelque chose, et a fait remarquer que bien qu’il soit certainement vrai, et qu’il ait été prouvé d’une multitude de façons, aucune d’entre elles ne rendait le théorème évident. J’étais heureux d’entendre cela – toutes ces années, depuis que j’ai rencontré le TRQ pour la première fois à Cambridge, j’ai pensé que c’était juste moi ! Mais cela m’a fait réfléchir à ce qui est évident et à ce qui ne l’est pas.
Parfois, il suffit d’attendre le bon argument. Le théorème de Sylvester-Gallai, qui concerne les configurations de lignes et de points dans le plan euclidien, est resté le « problème de Sylvester » pendant près de cinquante ans après qu’il a été posé en 1893. Au milieu du vingtième siècle, des preuves ont commencé à apparaître, culminant avec la preuve de la distance minimale de Kelly, qui rend le théorème vraiment évident.
Certaines choses en mathématiques semblent plus évidentes, au premier abord, qu’elles ne le sont réellement. Le théorème des quatre couleurs semble évident pour beaucoup après une demi-heure de gribouillage, mais il n’existe toujours pas de preuve compréhensible par les humains. Il existe des théorèmes difficiles sur les ensembles infinis dont les équivalents finis sont triviaux. Et quoi de plus évident que le théorème de la courbe de Jordan, qui affirme que toute courbe fermée simple possède un intérieur et un extérieur ? Mais il est très, très difficile à prouver, au point que pratiquement tous les manuels de premier cycle qui en ont besoin s’abstiennent d’en donner la preuve. Pourquoi cette divergence ? Je pense que c’est parce que lorsque vous ajoutez quelques « belles » propriétés supplémentaires, la preuve devient très simple… et votre imagination (ou du moins mon imagination) a tendance à ajouter ces belles propriétés gratuitement lorsque vous vous mettez en tête d’« imaginer une courbe fermée simple ». Inversement, si l’on monte de quelques dimensions, les n-sphères développent des propriétés bizarres que nos intuitions tridimensionnelles ont du mal à imaginer.
Il y a ensuite les différentes formes de l’axiome du choix. Quoi de plus évident que le produit d’une collection d’ensembles non vides est non vide ? Mais cela est logiquement équivalent au théorème très peu évident de Tychonoff, et implique le bizarre paradoxe de la dissection de Banach-Tarski, qui n’est sûrement évident pour personne.
Il est clair que nous entendons et comprenons quelque chose par « évident » en mathématiques… mais il n’est pas toujours évident de savoir quoi !
