Bonne année hyperpyramidale !
Pour la plupart des gens, la numérologie est la croyance que les nombres sont « chanceux » ou « malchanceux ». De nombreux hôtels occidentaux omettent le treizième étage et la treizième chambre de chaque étage restant, par respect pour cette superstition. Dans certaines cultures d’Extrême-Orient, le chiffre quatre porte également malheur (en raison d’une homonymie avec des mots désignant la « mort »). J’ai visité des hôtels qui tentaient de satisfaire les deux catégories de clients… les commandes d’ascenseur ont l’air nettement trouées ! Quelques autres aversions de ce type et l’hôtel en serait réduit à dire à chaque client « votre chambre se trouve quelques étages plus haut et le long du couloir ».
Parmi les mathématiciens, le mot est utilisé avec humour pour désigner la croyance selon laquelle certains nombres sont « intéressants », en particulier lorsqu’ils sont énoncés indépendamment de toute théorie lourde. Les pythagoriciens et leurs successeurs ont étudié les nombres carrés, triangulaires, parfaits et d’autres types de nombres. Ils ne semblent pas l’avoir fait dans l’idée que les nombres pentagonaux (par exemple) étaient sacrés pour Aphrodite ou qu’il ne fallait pas acheter de poisson un jour où les nombres étaient parfaits. Au début, personne n’a non plus étudié de théorie profonde derrière ces nombres, à notre connaissance. Ils étaient justifiés par la beauté des nombres.
Mais bien sûr, l’observation frivole d’une personne est la thèse de doctorat ou la médaille Fields d’une autre personne. Vous pouvez penser qu’il est amusant que 1^1 + 2^2 + \cdots + 24^2 = 70^2, et c’est certainement le cas. Mais Lucas a conjecturé en 1875 que c’était le {seul} cas non trivial dans lequel un nombre pyramidal était également carré… et il a fallu attendre 43 ans pour que G.N. Watson le prouve, grâce à une utilisation très peu frivole des fonctions elliptiques. En outre, il existe des liens étroits entre ce phénomène et la très grande symétrie du réseau de Leech à 24 dimensions, qui à son tour est lié aux propriétés des groupes simples sporadiques.
À propos de sommes de puissances, vous vous souvenez sans doute que G. H. Hardy a raconté qu’il avait rendu visite à Ramanujan à l’hôpital, alors que ce dernier était malade et déprimé, et qu’il avait fait remarquer, pour tenter d’engager la conversation, que le taxi qu’il avait pris pour se rendre à l’hôpital portait le numéro de plaque 1729, plutôt inintéressant. Ramanujan l’identifia immédiatement (soi-disant à la surprise de Hardy) comme le premier nombre qui était la somme de deux cubes de deux manières distinctes.
Je me suis parfois interrogé sur cette surprise. Bien sûr, Hardy savait que Ramanujan aimait les nombres, mais personne n’a suggéré ailleurs que les numéros de taxi occupaient une place spéciale dans ses affections, comme les numéros de locomotive le font pour les observateurs de trains. Et si ce n’est pas le cas, pourquoi Hardy aurait-il pris la peine de se souvenir d’un numéro de taxi pour lui – à moins qu’il n’ait lui aussi vu qu’il était intéressant ? Et il aurait certainement pu le voir, grâce à l’heureuse coïncidence que, pour quiconque connaît les premiers cubes, les partitions 1000+729 et 1728+1 sont toutes deux évidentes au premier coup d’œil en notation décimale. Je pense que Hardy savait exactement ce qu’il apportait pour divertir l’invalide !
Quoi qu’il en soit, nous sommes en l’an 2025 de l’ère commune, et 2025 est un nombre très intéressant. C’est (comme je l’ai déjà vu dans un courriel d’une organisation mathématique) un carré parfait : la seule année de ce type dans la plupart de nos vies. Mais ce n’est pas tout ! Plus précisément, il s’agit de 45^2, et 45 est (oui !) un nombre triangulaire. Et nous nous souvenons tous (depuis la première année de calcul) de ce que sont les carrés des nombres triangulaires : ce sont les nombres hyperpyramidaux, les sommes des n premiers cubes ! 2025 = 1^3 + 2^3 + \cdots+ 9^3. premiers cubes !
Ajoutez 3025 au nombre de cette année, bien sûr, et vous obtenez 5050… que nous reconnaissons tous comme la réponse que le jeune Gauss aurait obtenue presque instantanément lorsque son maître d’école essayait de faire taire les enfants en leur faisant calculer 1+2+\cdots+100. Une coïncidence ? Pas vraiment ! Si l’on représente 1+2+\cdots+n par \Delta(n), alors on montre très facilement que \Delta(n^2) = \Delta^2(n-1) + \Delta^2(n). Malheureusement, cela ne semble pas aller plus loin : ce n’est pas, pour autant que je puisse le voir, le début d’un joli schéma pour les puissances supérieures. S’agit-il simplement de la loi forte des polynômes de faible degré ?
Je doute que cela rende l’année particulièrement chanceuse… mais c’est au moins une chose à laquelle on peut penser lorsque les nouvelles sont trop déprimantes. Je souhaite bonne chance à tous nos lecteur(trice)s en ces temps potentiellement difficiles.
