Au-delà des fractions : là où la musique et les mathématiques se rencontrent

Au début de l’été dernier, les étoiles se sont alignées et j’ai pu assister à la réunion d’été de la SMC en tant que présentatrice dans le volet éducation de la conférence. Heureusement, celle-ci se tenait à l’Université de la Saskatchewan, où je prépare un doctorat en éducation. Je pouvais donc me permettre d’y assister !

Il est difficile de décrire à quel point j’étais nerveuse. Je ne suis pas mathématicienne. Je ne suis pas enseignante en mathématiques. Je suis musicienne. Et depuis près de deux décennies, je suis directrice musicale dans une école secondaire. L’idée de présenter quelque chose qui pourrait intéresser des personnes immergées dans le monde des mathématiques me semblait ridicule. Cependant, grâce au soutien de mon superviseur et à une idée qui mûrissait dans mon esprit depuis des années, ma présentation a commencé à prendre forme.

La musique et les mathématiques sont des alliés naturels. Bon nombre des structures présentes dans la musique se retrouvent également dans les mathématiques. Les parallèles semblent infinis. Et, pour mémoire, je ne parle pas du vieil adage « la musique enseigne les fractions ». Quel cliché ! La musique est l’incarnation même des mathématiques. La beauté des mathématiques peut être représentée par la musique. Il est intéressant de noter que la musique peut représenter bon nombre des concepts mathématiques enseignés dans le programme scolaire canadien, de la maternelle à l’université.

Après mûre réflexion et des conversations approfondies avec un ami qui est à la fois mathématicien et musicien, nous avons décidé que le moyen le plus efficace de transmettre mes réflexions sur la convergence entre les mathématiques et la musique serait une étude de cas. Pour ma présentation, j’ai tenté (en vingt minutes) d’identifier les concepts mathématiques dans un morceau de musique pour piano : l’Étude n° 6 de Philip Glass (https://www.youtube.com/watch?v=sZffgf4GoMQ).

Comme son nom l’indique, cette étude pour piano comporte de nombreux facteurs de 6 tout au long du morceau, à commencer par le plus élémentaire : elle est en mesure 4/4 (il y a 6 noires dans chaque mesure) et doit être jouée à ♩=132 = 6 • 22 battements par minute. Il est impressionnant de constater que dans l’enregistrement que j’ai utilisé comme exemple, Víkingur Ólafsson interprète cette pièce à un rythme effréné de 216 battements par minute, soit 6 • 36. Comme ma présentation était axée sur l’aspect éducatif, j’ai passé beaucoup de temps à parcourir les programmes scolaires et universitaires de mathématiques afin d’ancrer les concepts que je présentais dans la pièce aux objectifs pédagogiques de la Saskatchewan.

L’une des caractéristiques structurelles les plus notables (jeu de mots intentionnel) de cette étude est l’utilisation par Glass de séquences additives, de symétrie et de transformations, des concepts qui correspondent clairement aux idées mathématiques enseignées dans les programmes de mathématiques pré-calcul, calcul et universitaires de la Saskatchewan. Ces concepts sont particulièrement présents au début de la pièce, où de courts motifs rythmiques ou mélodiques sont progressivement développés en ajoutant de petites unités au fil du temps, à l’instar des séquences mathématiques ou des transformations de fonctions. Dans la dernière partie de l’étude, Glass utilise un processus de minimalisme et de réduction : plutôt que d’introduire de nouveaux éléments, il supprime ou simplifie systématiquement les couches musicales existantes. Cette « réduction » musicale reflète les concepts mathématiques de ratio et de proportion, où les relations entre les quantités deviennent plus visibles et structurellement significatives à mesure que la texture s’amenuise. Par exemple, les motifs répétés peuvent être réduits de moitié, les rythmes ralentis de manière proportionnelle ou le contenu harmonique distillé à ses intervalles les plus simples. Si le minimalisme est souvent décrit comme un genre stylistique, il sert dans ce contexte de mécanisme formel pour apporter une clôture structurelle, reflétant l’élégance mathématique que l’on trouve dans les expressions simplifiées ou les preuves concises.

Les polyrythmes, qui consistent à jouer simultanément deux ou plusieurs motifs rythmiques différents, jouent un rôle central tout au long de l’étude. Par exemple, les auditeurs peuvent entendre un motif trois contre deux contre un, où une couche est composée de triolets (trois notes par temps), une autre de duolets (deux notes par temps) et une troisième couche de noires régulières (une note par temps). Cette superposition devient encore plus complexe dans la septième section de la pièce, où apparaît un motif cinq contre deux contre un, une coordination exceptionnellement complexe de flux rythmiques exécutée à la perfection par Ólafsson. Ces rythmes qui se chevauchent créent des cycles qui ne s’alignent qu’à certains moments, en fonction de leur plus petit commun multiple (PCM), un concept familier dans les cours de mathématiques du collège. Par exemple, un motif 3 contre 2 s’aligne tous les 6 temps, tandis qu’un motif 5 contre 2 s’aligne tous les 10 temps. Cette propriété offre aux étudiants un moyen direct et attrayant d’explorer les concepts de la théorie des nombres en temps réel. Au-delà du PCM, les polyrythmes constituent également une porte d’entrée vers les permutations et les combinaisons, car chaque couche rythmique peut changer de position, d’ordre ou d’accentuation. L’analyse de la façon dont ces rythmes se répètent, s’entrecroisent et se transforment au fil du temps permet aux étudiants d’appréhender la structure mathématique non seulement comme une logique abstraite, mais aussi comme quelque chose d’audible, de physique et d’expressif.

L’étude de Glass repose sur l’itération, avec des motifs répétitifs (courtes idées musicales) qui évoluent progressivement grâce à de subtils changements de rythme et d’harmonie. En musique, le rythme fait référence au timing des sons et des silences, y compris la durée des notes et leur espacement dans le temps. L’harmonie, quant à elle, implique la combinaison de notes jouées simultanément, créant des accords et une sensation de couleur tonale ou de tension. Dans cette étude, Glass modifie à la fois le placement rythmique et le contexte harmonique des motifs, créant ainsi une impression dynamique de mouvement au sein d’une structure apparemment répétitive. Ces motifs évolutifs ressemblent beaucoup à des séquences mathématiques, où chaque élément est dérivé du précédent selon une règle ou une transformation spécifique. En traitant les motifs musicaux comme des éléments d’une séquence, voire comme des fonctions ou des ensembles, les étudiants peuvent explorer la structure et le développement de la pièce à l’aide de concepts mathématiques tels que la symétrie (lorsqu’un motif se reflète ou pivote), la périodicité (lorsque les motifs se répètent à intervalles réguliers) et la transformation (la manière dont les motifs changent progressivement au fil du temps).

La nature cyclique de ces motifs se prête à une analyse par l’arithmétique modulaire. Tout comme les systèmes modulaires se répètent après avoir atteint une certaine valeur, les motifs de Glass se répètent à intervalles réguliers et peuvent être examinés à l’aide d’approches basées sur le modulo (par exemple, en analysant un motif qui se répète tous les 8 temps avec mod 8). Cette approche mathématique pourrait aider à comprendre la structure compositionnelle de la pièce et fournir un point d’entrée créatif pour relier la musique au raisonnement mathématique en classe.

L’utilisation des nuances (les différents niveaux d’intensité sonore dans la musique) par Glass est une autre caractéristique qui peut être explorée à travers des concepts mathématiques. Dans la notation musicale occidentale, les nuances sont indiquées par des lettres : p (piano) signifie doux, mp (mezzo piano) signifie modérément doux, mf (mezzo forte) signifie modérément fort et f (forte) signifie fort. Ces indications dynamiques changent progressivement tout au long de l’Étude n° 6, créant des motifs de croissance et de décroissance exponentielles. Par exemple, si nous attribuons des valeurs numériques à ces dynamiques : p = 1, mp = 2, mf = 4 et f = 8, nous pouvons commencer à voir une progression géométrique dans la façon dont l’intensité augmente et diminue. Une séquence dynamique telle que p – mp – mf – mp correspondrait au modèle numérique 1 → 2 → 4 → 2, illustrant un effet de doublement et de division par deux qui reflète un comportement exponentiel. Ce type de cartographie structurée permet aux étudiants de visualiser et d’analyser les changements dynamiques sous forme de séquences géométriques ou de fonctions exponentielles, offrant ainsi un moyen tangible et expressif de relier les mathématiques à l’interprétation musicale.

Dans l’espoir de susciter l’intérêt de mes collègues universitaires, je suis arrivée à la conférence, nerveuse, prête à présenter un exposé sur une collaboration entre la musique et les mathématiques. Imaginez ma surprise lorsque la salle, jusque-là vide, s’est soudainement remplie de gourous des mathématiques juste avant mon exposé ! Sous le choc (et encore plus nerveuse) j’ai réussi à terminer mes vingt minutes d’exposé en un seul morceau (encore une fois, jeu de mots intentionnel), suivies d’une séance animée de questions-réponses de dix minutes. Puis, aussi vite qu’ils étaient venus, les participants ont disparu, me laissant bouche bée.

Les liens entre les mathématiques et la musique ne sont pas nouveaux ; il suffit de se référer au Quadrivium de Platon pour apprécier leurs fondements communs. Néanmoins, l’accueil enthousiaste réservé à ma présentation suggère qu’il existe encore un terrain fertile pour un dialogue renouvelé, en particulier dans le contexte pédagogique contemporain. Plutôt qu’une conclusion, cette expérience m’a semblé être le point de départ d’une réflexion plus approfondie. Je me réjouis de poursuivre ce travail et de m’engager avec d’autres personnes intéressées par l’exploration des possibilités éducatives à l’intersection de la musique et des mathématiques.