Inanna et les algèbres
Une fois de plus ce mois-ci, je me suis surpris à réfléchir aux quaternions et à des questions connexes, en partie pour le plaisir, mais aussi peut-être pour me changer les idées. Vous en savez probablement quelque chose vous aussi. Cet éditorial n’a pas pour but d’être une leçon, mais simplement une réflexion sur l’élégance de certaines branches des mathématiques.
Vous savez que les nombres complexes sont générés à partir des nombres réels en ajoutant une racine carrée pour -1, ou, de manière équivalente, en modifiant l’idéal \langle x^2+1 \rangle à partir de l’anneau des polynômes. Étonnamment, en supposant une solution pour un polynôme auparavant insoluble, nous les avons tous résolus et avons jeté les bases d’une grande partie des mathématiques appliquées importantes du XXe siècle. Les nombres complexes se comportent de manière très similaire aux nombres réels, sauf qu’ils ne peuvent pas être ordonnés.
Si nous modifions plutôt <x^2> nous obtenons les nombres duals, avec des éléments « infinitésimaux » : ceux-ci peuvent être considérés comme une base alternative pour au moins certains calculs, et sont utiles en géométrie. Si nous modifions <x^2-1> nous obtenons les nombres doubles, qui ont des applications en relativité restreinte. Aucun de ces anneaux n’est aussi utile que \mathbb{C}, mais la barre est haute !
C’est une astuce tellement efficace que les gens ont voulu la réutiliser. Hamilton, après avoir tenté en vain de concevoir une algèbre de division tridimensionnelle, s’est essayé à quatre dimensions et a développé les quaternions. Il est surprenant aujourd’hui de réaliser que les quaternions étaient utilisés avant les vecteurs : les vecteurs les ont en fait supplantés pendant une grande partie du XXe siècle, mais les quaternions ont récemment fait leur retour comme moyen extrêmement rapide de gérer les rotations d’objets tridimensionnels dans les processeurs graphiques.
Il existe deux façons évidentes d’envisager les quaternions. Nous pouvons partir des nombres réels et créer une algèbre associative avec deux racines carrées de -1, ij = – ji. Nous obtenons alors une symétrie entre i, j, et k := ij. C’est l’approche de l’algèbre de Clifford. Nous pouvons également utiliser la construction de Cayley-Dickson et ajouter un autre élément imaginaire à \mathbb{C}, en construisant les quaternions comme \mathbb{H} := \mathbb{C}+j\mathbb{C}. J’omets des détails importants dans les deux cas, mais quoi qu’il en soit, nous obtenons les quaternions. Ceux-ci se comportent un peu comme les nombres complexes, mais nous devons renoncer à la commutativité.
Si nous répétons la construction de Cayley-Dickson, nous obtenons les octonions \mathbb{O} := \mathbb{H}+k\mathbb{H}. Cette fois-ci, la nouvelle algèbre est non associative. (Tout comme Inanna descendant aux enfers, notre algèbre doit renoncer à une propriété à chaque porte.) Comme les algèbres de Clifford sont construites pour être associatives, l’algèbre de Clifford à trois générateurs ne peut pas être les octonions, bien qu’elles soient liées. Cependant, les octonions conservent une trace d’associativité : elles constituent une algèbre alternative, ce qui signifie que les triplets de la forme (xx)y=x(xy) et (xy)y=x(yy) s’associent.
Répétez la construction une fois de plus, et Inanna perd son dernier attribut : les sédénions, \mathbb{S} := \mathbb{O}+\ell\mathbb{O}, sont simplement associatifs en puissance, avec (xx)x = x(xx). (Vous connaissez depuis l’école primaire une autre opération non alternée mais associative en puissance : la moyenne, \frac{x+y}{2} !) Pire encore, l’algèbre des sédénions a des diviseurs de zéro et n’a donc pas de norme multiplicative. Il ne reste plus grand-chose à perdre en répétant encore la construction.
Pendant ce temps, les algèbres de Clifford ne font que s’échauffer pour un modèle de périodicité de Bott. Et il existe des hybrides entre les deux familles d’algèbres. Fascinant, n’est-ce pas ?
