Demandez ce que ChatGPT peut faire pour les mathématiques
(« Ne demandez pas ce que votre pays peut faire pour vous,
Demandez ce que vous pouvez faire pour votre pays. »)
John F. Kennedy, discours d’investiture, 1961
Les grands modèles linguistiques ont changé la façon dont beaucoup de gens écrivent. Pour les mathématicien(ne)s, cette transformation soulève une question évidente et intrigante : un outil capable de prédire du texte peut-il vraiment aider dans le travail mathématique, où la précision et la structure sont primordiales ?
En testant ChatGPT, j’ai découvert que c’était possible, à condition de l’utiliser comme un collaborateur et non comme un oracle. Dans cet article, le premier d’une série en deux parties, j’illustre comment ChatGPT m’aide à dessiner des diagrammes, une tâche cruciale en théorie des treillis.
Certains des codes générés par ChatGPT sont longs ; les fichiers complets sont disponibles en ligne :
https://www.icloud.com/iclouddrive/0f6TeZT0WjrQvmUKN0X3HAatQ#Data_files
Tout au long de cet exercice, je me répète que ChatGPT est un assistant. Il est plus efficace lorsque je corrige et façonne ses contributions.
- DESSIN DE DIAGRAMMES
La théorie des treillis est visuelle. La plupart de mes preuves commencent par des croquis de diagrammes, et pendant des décennies, je les ai dessinés à la main. Je n’utilise pas TikZ pour dessiner des diagrammes. C’est un outil très puissant, mais il ne fournit pratiquement aucun message d’erreur utile ; il est très facile de faire une petite erreur et très difficile de la trouver. ChatGPT, en revanche, génère un code TikZ précis même à partir d’une brève description.
Un premier exemple. Considérons le réseau N6, avec les relations de recouvrement
\omega < \beta < \tau,\qquad\omega < \gamma < \tau,\qquad\tau < \upsilon,
où \alpha est à la fois un atome et un coatome. Une courte commande permet d’obtenir un dessin exploitable ; voir la figure 1.
[Figure 1. Schéma de base du réseau N6.]
Pour la publication, je souhaite une version plus soignée. Au lieu de la modifier à la main, je demande à ChatGPT une version stylisée. Le résultat est présenté dans la figure 2.
[Figure 2. Schéma stylisé de N6.]
Un exemple plus grand : un réseau de sous-réseaux. Le réseau de tous les sous-réseaux de N6 est vaste et complexe. Le dessiner à la main est pratiquement impossible ; le dessiner dans TikZ est sans espoir. ChatGPT, en revanche, génère un fichier TikZ de six pages qui se compile en un diagramme latéral clair.
Il existe également une limite pratique : si un diagramme comporte trop de bords, il devient très difficile à lire. Pour le réseau de sous-réseaux de N6, nous sommes proches de cette limite, mais le résultat reste utilisable et informatif.
Voici la commande que je donne à ChatGPT :
Dessine le diagramme du réseau de sous-réseaux du réseau N6, cercles violets, bords bleus derrière, impression latérale.
La figure 3 montre ce diagramme.
C’est là que la valeur de ChatGPT devient la plus évidente. Il ne faut que quelques secondes pour générer un diagramme aussi complexe, ce qui me permet d’expérimenter librement, d’essayer différentes mises en page ou de mettre en évidence différentes caractéristiques structurelles, ce que je n’avais jamais tenté auparavant.
Légende. À titre de référence, voici les 36 sous-réseaux de N6, indexés par a, b, c, \ldots, J:
Je vous le répète : Faites confiance, mais vérifiez. Vous devez absolument vérifier à la main que la légende et la figure 3 sont correctes. C’est fastidieux, mais nécessaire.
Qu’est-ce que cela signifie concrètement ? ChatGPT peut produire un diagramme et une légende qui semblent tout à fait convaincants. Les cercles sont parfaitement espacés, les bords sont droits et chaque nœud porte une étiquette claire. Il est très tentant d’accepter un tel résultat comme faisant autorité, surtout lorsque la structure sous-jacente (ici, le réseau de tous les sous-réseaux de N6) est trop grande pour être visualisée facilement par soi-même. Mais ChatGPT n’a aucune compréhension intrinsèque des réseaux ou des sous-réseaux ; il organise les points et les lignes selon des modèles qu’il a appris à partir de textes. Un seul bord mal placé ou une inclusion manquante peut transformer un diagramme correct en un diagramme subtilement incorrect.
Avant de vous fier à l’image, vous devez donc effectuer un travail que seul(e) un(e) mathématicien(ne) peut réaliser. Commencez par la définition de chaque sous-réseau dans la légende, vérifiez qu’il est fermé sous les opérations du réseau, puis vérifiez que le point correspondant dans la figure 3 est placé au bon niveau. Vérifiez, pour chaque relation de couverture dans le diagramme, qu’elle représente bien une couverture dans le réseau des sous-réseaux et qu’aucun sous-réseau intermédiaire n’a été omis. Comptez les éléments : il devrait y avoir exactement 36 sous-réseaux, chacun apparaissant une fois dans la légende et dans le diagramme. Si l’une de ces vérifications échoue, la figure doit être corrigée.
Cela peut sembler démodé dans un monde où le diagramme apparaît à la suite d’une simple commande, mais la responsabilité n’a pas changé. ChatGPT accélère la production des diagrammes, mais ne certifie pas leur exactitude. En matière de contenu mathématique, l’autorité finale reste le/la lecteur(trice) qui vérifie manuellement les définitions, les vérifications et les recoupements. Ce n’est qu’après cet examen minutieux que le diagramme peut être considéré comme fiable pour être imprimé.
- CE QUE J’AI APPRIS DE CET EXERCICE.
Trois observations guident désormais mon utilisation de ChatGPT pour la création de diagrammes :
(2) Il a toujours besoin de mon jugement. J’ajuste l’espacement, les couleurs, les annotations et je vérifie l’exactitude du résultat. ChatGPT fournit la structure, je la peaufine.
(3) Les gains de productivité sont considérables. Les tâches qui prenaient autrefois des heures ne prennent plus que quelques minutes. Cela change ma façon d’explorer les exemples et m’encourage à faire des expériences qui étaient auparavant trop chronophages.
3. CONCLUSION
J’ai toujours utilisé des outils : craie, crayons, logiciels symboliques, TikZ et LATEX. ChatGPT vient désormais s’ajouter à cette boîte à outils. Il ne remplace pas la réflexion mathématique, mais l’amplifie en éliminant les obstacles routiniers. Il en résulte non seulement une efficacité accrue, mais aussi une plus grande liberté : je peux essayer davantage d’idées, dessiner davantage d’images et explorer davantage de modèles.
Dans la deuxième partie de cet article, je me tourne vers un autre domaine dans lequel ChatGPT m’est devenu indispensable : le calcul à petite échelle et la construction d’exemples, activités essentielles à la découverte mathématique.
[Figure 3. Le réseau de tous les sous-réseaux de N6, dessiné de côté.]
