Au-delà du zéro : les imaginaires de Florensky chez Bely et Malevitch
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Amy Ackerberg-Hastings, chercheuse indépendante (aackerbe@verizon.net)
Nicolas Fillion, Simon Fraser University (nfillion@sfu.ca)
Les œuvres de l’écrivain et poète symboliste Andreï Biély et l’art suprématiste de Kazimir Malevitch expriment un intérêt commun pour le concept de réalité qui se trouve au-delà de celle accessible à nos sens, un espace que l’on peut atteindre en voyageant au-delà du zéro. Je soutiens que c’est Pavel Florensky qui a suggéré la possibilité de ce passage à Biély et Malevitch à travers des idées mathématiques sur les nombres imaginaires qu’il a expliquées dans son traité Imaginaries in Geometry (Mnimosti v Geometrii) (1922). Cette note donne un aperçu de l’interprétation des imaginaires par Florensky et présente aux lecteurs quelques exemples parmi les nombreuses œuvres littéraires et artistiques inspirées par la géométrie de \sqrt{-1}.
Les Imaginaires en géométrie de Florensky
En 1922 [1], le philosophe, mathématicien, scientifique, poète et prêtre russe Pavel Florensky publia son ouvrage Imaginaires en géométrie\(i\) (Mnimosti v Geometrii), dans lequel l’auteur affirmait que la géométrie de \sqrt{-1} décrit un domaine d’existence réel et transcendant (Florensky 1922/1991). L’histoire de \sqrt{-1} suit une trajectoire fascinante, passant d’une erreur d’imagination à la preuve d’une réalité guidée par des principes bien au-delà de tout ce qui est connu et expérimenté sur notre planète. Parmi les étapes intermédiaires, on peut citer Héron d’Alexandrie (vers 1 après J.-C.) qui ignore la racine carrée d’un nombre négatif (Tubbs 2009) ; Girolamo Cardano (1545/1993) la considérant comme une « torture mentale » ; René Descartes (1637/1954) lui attribuant le titre péjoratif d’« imaginaire » ; et Leonard Euler (1777/1794) la transformant en un outil mathématique en introduisant le symbole et normalisa l’opération \(a+bi\) : une rotation de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, proposée séparément par Caspar Wessel (1797/1999), Jean-Robert Argand (1806/1881) et Carl Friedrich Gauss (1831/1966) [2]. Les Imaginaires de Florensky ont franchi une étape supplémentaire en élargissant l’espace des objets géométriques bidimensionnels pour intégrer les imaginaires, qui à l’époque étaient représentés graphiquement de manière indépendante, dans le système de représentation spatiale (figure 1). Il a écrit :
Une nouvelle interprétation des imaginaires consiste à découvrir le revers du plan et à associer ce côté aux nombres imaginaires. Le segment imaginaire renvoie, selon cette interprétation, au côté opposé du plan ; il possède son propre système de coordonnées, qui coïncide dans un cas avec le réel et diverge dans l’autre. Pour nous, maintenant, nous le répétons, le plan est devenu transparent, et nous voyons les deux systèmes d’axes à la fois, de sorte que nous pouvons représenter le plan de la même manière que dans le dessin 15, où l’axe en pointillés est le système d’axes imaginaires (Florensky 1922/1991).
Figure 1. La description par Florensky du revers de la réalité.
Ce noyau initial du traité de Florensky se développe en un argument qui soutient une vision du monde aristotélicienne-ptolémaïque-danteenne. L’interprétation de Florensky des imaginaires comme des objets mathématiques qui décrivent une autre réalité au-delà de la nôtre repose sur la prémisse que notre monde physique est fini. La Divine Comédie de Dante (1321) fournit une illustration fructueuse d’une telle possibilité (Florensky 1922/1991) . Anticipant le développement de la géométrie non euclidienne (Florensky 1922/1991, Poincaré 1905, Weber 1905, Simon 1912), Dante décrit des aventures qui seraient impossibles à expliquer à l’aide d’un système euclidien : le poète, tout en voyageant toujours en ligne droite, revient au même endroit où il a commencé son voyage. Comme le poème décrit un renversement de la direction prise par le poète, Florensky en conclut que l’espace de Dante est conforme aux principes de la géométrie elliptique, mettant en lumière la vision médiévale d’un monde fini.
La prochaine étape dans l’argumentation de Florensky consistait à imaginer comment on pouvait briser la coquille du monde physique pour atteindre l’espace des valeurs imaginaires. S’appuyant sur la théorie de la relativité, Florensky (1922/1991) a compris le principe de la vitesse invariante de la lumière non pas comme une impossibilité d’atteindre des vitesses supérieures à celle de la lumière, mais plutôt comme une indication de l’existence de conditions de vie nouvelles et inimaginables, transcendantales à notre expérience kantienne, qui pourraient devenir connaissables et accessibles à l’avenir. En utilisant l’inverse du facteur de Lorenz (\gamma=\frac{1}{\sqrt{\frac{1-v^2}{c^2}}}), Florensky a esquissé la formule pour soutenir sa thèse principale : \beta=\sqrt{\frac{1-v^2}{c^2}}. Si pour Einstein cette formule était un obstacle, pour Florensky, elle était une porte ouverte. Il a analysé ce qui arrive au résultat \beta lorsque la vitesse v change. Si un objet se déplace plus lentement que la vitesse de la lumière, la fraction est un nombre positif inférieur à 1 (par exemple, 0.5). Le résultat est un nombre réel que Florensky considérait comme représentatif de notre réalité physique « immanente ». Si un objet atteint la vitesse de la lumière, la fraction devient égale à 1, et \sqrt{1-1} est égal à 0, indiquant la frontière absolue — le voile entre les mondes — où le temps s’arrête et la longueur se contracte à zéro. C’est le royaume des Formes de Platon et des formes pures d’Aristote, qui sont des entités incorporelles, non étendues, immuables et éternelles. Si un objet dépasse la vitesse de la lumière, la fraction devient un nombre supérieur à 1, ce qui donne un nombre imaginaire tel que \sqrt{1-2} = \sqrt{-1}. Pour Florensky, cela constituait la preuve qu’un corps se déplaçant plus vite que la lumière ne disparaît pas. Au contraire, il passe de notre monde « réel » à la géométrie « imaginaire ». La conclusion du traité de Florensky décrit la réalité de l’espace imaginaire et l’assimile à l’Empyrée de Dante, le dixième et dernier ciel, qui représente la destination ultime de son voyage. Il ne s’agit pas d’un lieu physique, mais d’un royaume immatériel de lumière pure, d’amour et d’intellect qui existe au-delà du temps et de l’espace. C’est la véritable et éternelle demeure de Dieu, de tous les anges et de toutes les âmes bénies. Selon les mots de Florensky :
Mais, en nous référant à l’interprétation des imaginaires proposée ici, nous visualisons comment, en se contractant jusqu’à zéro, le corps traverse la surface — le support de la coordonnée correspondante — et se retourne sur lui-même, acquérant des caractéristiques imaginaires. Exprimé de manière figurative, et, avec une compréhension concrète de l’espace, non figurative, nous pouvons dire que l’espace se brise à des vitesses supérieures à celle de la lumière, tout comme l’air se brise avec le mouvement des corps, dont les vitesses sont supérieures à celle du son ; puis des conditions qualitativement nouvelles pour l’existence de l’espace, caractérisées par des paramètres imaginaires, apparaissent. . . . Le domaine des choses imaginaires est réel, compréhensible et, dans le langage de Dante, est appelé Empyrean. Nous pouvons imaginer l’espace entier comme un double espace, composé de surfaces de coordonnées gaussiennes réelles et coïncidentes, mais la transition de la surface réelle à la surface imaginaire n’est possible que par une rupture de l’espace et l’éversion du corps à travers lui-même. Pour l’instant, nous n’imaginons un moyen d’y parvenir que par une augmentation des vitesses, peut-être les vitesses de certaines particules du corps, au-delà de la vitesse limite c ; mais nous n’avons aucune preuve de l’impossibilité d’autres moyens (Florensky 1922/1991, p. 51).
Les nombres imaginaires chez Bely et Malevitch
Le néoplatonisme, le réalisme mathématique, la géométrie non euclidienne et le symbolisme du zéro – thèmes abordés dans les travaux de Florensky sur les imaginaires – figuraient parmi les principales préoccupations de l’artiste d’avant-garde historique Kazimir Malevitch et de l’écrivain et poète symboliste Andreï Bely. Ce dernier entretenait une profonde amitié avec Florensky de 1903 à 1905. Cette brève période de contacts étroits a été marquée par une profonde admiration mutuelle pour leurs explorations intellectuelles, comme en témoignent les nombreuses lettres qu’ils se sont échangées. Dans un passage du roman de Bely, Pétersbourg, le protagoniste Nikolai Apollonovich décrit son expérience transcendantale dans un langage qui rappelle les vues de Florensky sur la métaphysique des nombres imaginaires :
C’était comme si j’avais eu une révélation, celle que je grandissais . . . vous voyez ce que je veux dire, que je devenais infini, que je traversais l’espace ; je vous assure que c’était réel : tous les objets grandissaient avec moi ; la pièce, la vue sur la Neva, la flèche de Pierre-et-Paul ; tout gonflait, grandissait ; et lorsque la croissance s’est arrêtée (il n’y avait tout simplement plus de place pour grandir, où que ce soit, en quoi que ce soit) ; mais dans ce fait, cela se terminait, à la fin, dans la conclusion — là, il me semblait qu’il y avait une sorte d’autre commencement pour moi : un au-delà de la fin, peut-être… D’une certaine manière, cela me semblait extrêmement absurde, désagréable et dérangé — dérangé — c’était l’essentiel ; dérangé, peut-être parce que je ne possédais pas d’organe capable de donner un sens à cette signification qui était, pour ainsi dire, au-delà de la fin ; au lieu de mes organes sensoriels, j’avais un sens « zéro » ; et je percevais quelque chose qui n’était pas zéro, ni un, mais moins qu’un. Toute l’absurdité résidait peut-être uniquement dans le fait que la sensation était une sensation de zéro moins quelque chose — cinq, par exemple (Bely 1913, pp. 475-476).
Les mots de Bely font écho à ceux de Florensky : le narrateur traverse l’espace pour atteindre la fin de la réalité physique symbolisée par la valeur zéro, au-delà de laquelle se trouve un autre type de royaume, inaccessible aux sens humains et incompréhensible par les facultés de l’esprit. L’accent est également mis ici sur la réalité de ce lieu « dérangé ».
La transition vers l’autre côté, vers la non-objectivité, était le projet philosophique de l’artiste d’avant-garde Kazimir Malevitch. En 1915, deux ans après la publication du Pétersbourg de Bely, que Malevitch admirait, l’artiste écrivait :
Les efforts déployés par les pouvoirs artistiques pour orienter l’art vers la voie de l’intellect ont abouti à un zéro de créativité. Même dans les sujets les plus forts, les formes réelles : l’apparence de la laideur. La distorsion a été poussée presque jusqu’au point de disparition par les plus forts, mais elle n’a pas dépassé les limites du zéro. Mais je me suis transformé en un zéro de forme et je suis passé de « 0 » à « 1 ». Estimant que le cubo-futurisme a rempli sa mission, je passe au suprématisme, au nouveau réalisme en peinture, à la création sans objet (Malevich 1915/1969, p. 19).
Peu après la publication de l’ouvrage Imaginaries de Florensky, Malevitch rédigea un manifeste intitulé Suprematist Mirror (Miroir suprématiste) (1923). Une partie du manifeste se présente sous la forme d’une formule qui expose l’idée selon laquelle tous les objets qui définissent notre monde, qu’ils soient abstraits ou concrets, ne sont que des illusions, des produits de notre esprit au service des exigences utilitaires de la vie (Figure 2 ; Malevitch 1923/1995). La philosophie zéro du suprématisme de Malevitch appelait à la révélation de tous les objets dans leur non-objectivité, comme rien, conduisant à l’annihilation totale de la forme. Atteindre cet espace liminal, la barrière, conduit au royaume au-delà du zéro, le nouveau réalisme en peinture.
Figure 2. Extrait du manifeste de Kazimir Malevitch, Suprematist Mirror, 1923.
Dans ces deux exemples, l’influence de l’interprétation des imaginaires par Florensky s’exprime dans la persistance de l’utilisation du concept de zéro comme « vortex » suprématiste vers l’espace du « néant ». La géométrie de Florensky offrait donc plus qu’une simple métaphore. Elle fournissait en outre un plan technique et métaphysique dont Bely et Malevitch avaient besoin. Elle transformait le « zéro » d’une limite en une frontière traversable pour le « néant » de Malevitch et le royaume « au-delà de la fin » de Bely.
Notes
[1] Sept des neuf chapitres du traité étaient achevés en 1902.
[2] Gauss avait fait ses découvertes en 1796, avant Wessel, mais il n’a publié ses travaux qu’en 1831, lorsque tout était « parfait ».
Références
Argand, J-R. (1881) Imaginary quantities: Their geometrical interpretation. Translated by A. S. Hardy. Reprint, D. Van Nostrand. Original work published in 1806.
Bely, Andrei. (2010) Petersburg. Translated by John Elsworth, Hanover: Steerforth Press.
Cardano, G. (1993) Ars magna or the rules of algebra. Translated by T. R. Witmer. Reprint, Dover Publications. Original work published in 1545.
Descartes, R. (1954) The geometry of René Descartes. Translated by D. E. Smith & M. L. Latham. Reprint, Dover Publications. Original work published in 1637.
Euler, L. (1794) De formulis differentialibus angularibus (On angular differential formulas). In Institutionum calculi integralis, vol. 4, pp. 183–194. Academia Imperialis Scientiarum. Original work written in 1777.
Florensky, Pavel. (1991) Mnimosti v Geometrii (Imaginaries in Geometry). Moscow: Lazur’. Original work published in 1922.
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Malevich, Kazimir. (1995) Suprematist mirror. In Sobranie sochinenii v piati tomakh (Collected Works in Five Volumes), vol. 1, p. 273. Reprint, Moscow: Gileia. Original work published in 1923.
Malevich, Kazimir. (1969) From Cubism and Futurism to Suprematism: The new realism in painting. In Essays on art, 1915–1933, translated and edited by T. Anderson, vol. 1, pp. 19–41. Reprint, Rapp & Whiting. Original work published in 1915.
Poincaré, H. (1905) Science and hypothesis. Translated by G. B. Halsted. The Science Press. Original work published in 1902.
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Tubbs, R. (2009) What is a number?: Mathematical concepts and their origins. Johns Hopkins University Press.
Weber, H., & J. Wellstein. (1905) Encyklopädie der Elementar-Mathematik: Ein Handbuch für Lehrer und Studierende. Band II: Geometrie (Encyclopedia of elementary mathematics: A handbook for teachers and students. Volume II: Geometry). B. G. Teubner.
Wessel, C. (1999) On the analytical representation of direction. In Caspar Wessel, on the analytical representation of direction: An attempt applied chiefly to solving plane and spherical polygons, translated by F. Damhus, edited by B. Branner & J. Lützen, pp. 55–66. Royal Danish Academy of Sciences and Letters. Original work published in 1799.
Irina Lyubchenko est éducatrice, chercheuse et artiste dont le travail explore les intersections entre l’art, la science et la technologie. Elle est titulaire d’un doctorat en communication et culture, d’une maîtrise en arts visuels, d’un baccalauréat en éducation technologique et d’un baccalauréat spécialisé en études photographiques. Ses recherches actuelles portent sur l’influence des théories scientifiques et des inventions technologiques sur l’avant-garde historique, retraçant la manière dont les paradigmes mathématiques et scientifiques du début du XXe siècle ont façonné les méthodologies artistiques. En reliant ces questions historiques à la culture numérique contemporaine, elle crée et théorise des expériences médiatiques immersives.
