Voir le monde dans un grain de sable
Récemment, avec quelques collègues européens, j’ai passé beaucoup de temps à étudier les tétraèdres et à déterminer quand ils tombent.
On pourrait penser qu’il n’y a pas grand-chose à dire sur un tétraèdre. Quatre sommets, enveloppés d’une pellicule rétractable. Douze nombres réels spécifient l’ensemble, y compris sa position. Si vous n’êtes pas préoccupé par la position ou la taille, cinq paramètres suffisent. Mais… c’est incroyable le nombre de cavités que contient cet espace modulaire à cinq dimensions, et nous n’en explorons qu’une seule. Je ne dirai pas qu’il s’agit du matériau le plus révolutionnaire sur lequel aucun d’entre nous n’a travaillé : ce n’est pas le cas. Mais nous sommes toujours surpris par ce que nous trouvons.
Les mathématiques sont notoirement pleines de questions faciles à poser et difficiles à résoudre. La raison pour laquelle il en est ainsi est en soi une question profonde. C’est en partie parce qu’une réponse appropriée à une question mathématique bien définie est tout aussi difficile que la question elle-même, de sorte que nous pouvons continuer à suivre des chaînes d’arguments arbitrairement longues. D’autres sujets – basés sur la réalité – ne fonctionnent pas toujours de cette manière. À un moment donné, le biologiste doit non seulement faire face à la présence de l’ornithorynque, mais aussi à l’absence de nombreuses espèces parfaitement plausibles, telles que la licorne et l’ogopogo, qui permettraient de tester des conjectures intéressantes si elles avaient la décence d’exister. Cela signifie que les découvertes de la biologie sont, en général, plus importantes pour le contribuable – aucune subvention du CRSNG n’a été utilisée pour le cas du cheval sphérique sans masse – mais cela signifie peut-être que les articles de Nature se ressemblent plus que les articles de l’American Mathematical Monthly. Nous pouvons construire d’étranges temples baroques à l’imagination sans nous soucier de savoir s’ils supporteront leur propre poids, précisément parce qu’ils ne pèsent rien. Si les différentes articulations sont rigides, la structure tient debout.
S’agit-il d’un jeu en mode facile ? Peut-être, mais c’est un autre jeu. D’autres sciences peuvent considérer un argument statistique basé sur un échantillon d’un millier de personnes comme effectivement concluant ; nous traitons une conjecture qui se vérifie dans le premier trillion de cas comme « plausible », sachant que la rigueur qui nous permet de continuer à enchaîner les déductions à l’infini n’a pas été satisfaite. (Et n’importe quel étudiant diplômé devrait pouvoir citer quelques exemples de conjectures non triviales qui se vérifient dans les premiers billions, ou dix fois plus, de cas, puis échouent).
En conséquence, nous pouvons trouver des problèmes intéressants dans la stabilité d’un tétraèdre, la somme d’une paire de nombres premiers, ou toute autre source parmi un million d’autres.
